For myself

이전에 살펴본 등각사상의 기하학적 접근법은 z 평면의 정의역 D에 정의된 복소수 해석함수 w=f(z)에서 D의 각점이 w 평면에 대응하는 점과 연관되며 도함수 f'(z)가 임계점을 제외하고 등각사상이 되는 것을 알 수 있게 만들어줬다. 이제 퍼텐셜 문제에 대해 적용하게 된다. 특히 라플라스 방정식을 위주로 상펴보며, 이를 퍼텐셜 이론과 관련해 일반적인 의미로 나타낼 것이다. 퍼텐셜 이론은 Laplacian Equation인 $$ \triangledown^2\phi=0 $$ 의 해에 관한 이론이다. 2계 편도함수가 연속인 해를 조화함수라고 한다. 이 식은 물리학에서 2차원과 3차원에 적용가능한 가장 중요한 편미분방정식이다. 이러한 형태는 정전기학, 정상상태 열흐름 문제, 유체흐름, 중력 등에 관한 문제에 ..

등각사상은 퍼텐셜 문제를 풀음에 있어 상당히 유용한 도구이다. 특히 2차원 퍼텐셜 이론에서 경계값 문제를 푸는데 있어 가장 표준적인 방법이다. 등각사상의 가장 큰 특징은 각도가 유지되며-물론 몇 임계점을 제외한다면 말이다, 복소수 해석을 기하학적으로 접근할 수 있도록 만들어준다. 더불어 복소함수 w=f(z)가 z 평면의 어느 정의역 D에서 정의된다면 D의 각점에 대해 w 평면상에 대응되는 점을 얻을 수 있으며, 이를 w 평면에 f(z) 값으로 이루어진 치역 위로의 사상을 얻는다. 해석함수인 경우 도함수가 f'(z)=0이 아닌 점을 포함해서 모두 등각사상으로 생각한다. 복소함수 w=f(z)는 복소 z 평면상의 정의역으로부터 복소 w 평면으로의 치역으로 사상한다. f(z)가 해석적이면 이 사상은 등각이라고 ..

복소적분과 실적분의 값을 계산하는 강력한 적분법인 유수적분에 대해 알아보자. 이전에는 첫번째로 Cauchy 적분공식의 적용, 두번째는 Taylor 급수를 이용하는 방법이 있었다면, 유수적분은 이에 대한 이론을 종합하여 정리하였다는 것에 의의가 있다. 특히 Laurent 급수는 Taylor 급수를 일반화 한 것이다. 이 급수는 양과 음의 거듭제곱의 급수를 의미한다. 이때 특이성의 주부와 유수 등을 알아보자. Laurent 급수는 다음과 같은 형태로 주어진다. $$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n} $$ 더 간단히 쓰게 되면 $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_..

이전에 복소적분을 Cauchy 정리를 이용해 풀 수 있었다. 이제 복소적분을 푸는데 있어 Cauchy와 Goursat의 방법이 아닌 다른 접근 방식에 대해 생각해보자. 이제 그것을 유수적분이라고 하는데, 이것을 다루기 이전에 먼저 거듭제곱 급수, Taylor 급수에 대한 이해를 먼저 시행하자. 그리고 이에 대한 수렴 판정을 구하고 해석 함수들이 Taylor 급수라고 하는 거듭제곱 급수로 나타내지며 균등수렴에 대한 이해를 마쳐야 한다. 수렴, 급수 및 수렴 판정법은 미적분학에서 다룬 것과 같이 이루어지며, 거듭제곱 급수는 $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+...+a_n(z-z_0)^n $$ 으로 주어지며, z_0을 중심이라고 한다. R이 수렴반경일 ..

복소적분에 대한 논의를 해보자. 우선, Cauchy 적분 정리를 알아야 한다. 이는 Cauchy의 적분공식에 의해 해석적 피적분함수의 적분 계산을 할 수 있도록 유도하기 때문이다. 이 적분공식은 해석함수들이 모든 고계도함수를 가짐을 보여주는 결과로 생각될 수 있다. 복소해석함수는 특정한 차수까지만 도함수를 가지는 실변수의 실함수보다 더 간단하게 거동한다. 이러한 복소적분은 감마함수, 오차함수와 다양한 다항식의 특수함수들과 연관되어 사용된다. 경로 C에 대한 함수 f(z)의 복소선적분은 다음과 같이 주어진다. $$ \int_C f(z)dz $$ 이며 닫힌 경로에서는 $$ \oint_C f(z) $$ 로 나타낸다. 만약 함수 f(z)가 단순 연결된 열린 영역 D에서 해석적이면 한 점 z_0에서 점 z_1까지..

복소수와 복소평면에서 복소수의 기하학적 도식에 대한 논의는 실적분학에서 복소적분학으로 전환하는 시작점이라고 할 수 있다. 특히 이에 대해 해석 함수를 다루며, 여부를 판단할 때 Cauchy-Riemann 방정식을 사용한다. 그리고 Laplace 방정식과의 연관성을 생각해본다. 복소수는 다음과 같이 주어진다. $$ z=x+iy=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta) $$ 이때 $$ r= \mid z \mid=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=arctan(x/y) $$ 로 주어진다. 복소함수 f(x)=u(x, y)+iv(x, y)가 열린 영역 D의 모든 점들에 대해 도함수 $$ f'(z)=lim_{\triangle z\rightarrow 0} \frac{f(z+\triang..

편미분방정식(이하 PDE라고 부를 것)은 독립변수가 2개 이상인 미지함수의 편도함수를 포함하는 방정식을 의미한다. 이는 대부분 시간 t와 그 외 여러 개의 공간 변수를 포함하고 있다. 정리한 것과 같이 파동방정식, 전도체의 온도, 박막의 진동 등의 라플라스 방정식에 해당한다. PDE는 단순한 물리계 뿐만 아니라 특히 양자역학에 있어 매우 중요한데, 특히 이에 대해 다루기 위해 단계적으로 접근해보자. 상미분방정식이 한 개의 독립변수를 포함하는 보다 간단한 문제 모델로서 나오지만, 이에 대해 PDE는 특히 두 개 이상의 독립 변수를 갖는 점에서 상당히 중요하다는 것을 다시 말해본다. 특히 중요한 5가지 방정식을 적어보면 1. 1차원 파동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$ u_{tt}=c^2u_{xx} $$..

이번에는 공업수학 2. 본격적인 편미분방정식과 푸리에 변환, 수치 해석에 대해 공부한 내용을 정리하려고 한다. 우선 푸리에 해석에 대해 짚고 넘어가고자 한다. 푸리에 해석은 본격적으로 푸리에 급수로부터 시작하여, 이 무한급수를 이용하여 주기 함수를 간단히 코사인과 사인으로 표현할 수 있게 설계되었다. 이 방식은 직교성을 가짐으로서 Euler 공식, e^ix=cosx+isinx을 이용하여 급수의 계산을 가능하게 만들어준다. 이는 강제 진동에 있어 상미분방정식의 해를 근사할 수 있도록 허용해준다. 푸리에 급수의 전개는 크게 두 가지의 방법이 존재하며, 이는 삼각급수 방법을 이용한 전개로 Sturm-Liouville 전개를 얻을 수 있다. 나머지 한 가지의 방법은 그에 대해 푸리에 적분과 푸리에 변환을 얻는 ..

Topic: 이차형식 어느 2개의 변수로 놓여진 이차방정식이 존재한다면, 그것을 대칭행렬로 표현할 수 있게 되는데, 이를 이차형식이라고 한다. 이는 2, 3개의 변수에 적용할 수 있으며, 이 또한 분해를 통해 표현할 수 있게 된다. 물론, 2개의 변수의 경우 이는 특히 대각값에서 같은 값을 갖게 되는 행렬이 된다. 이곳에서의 고유값은 적어놓은 식을 통해 구할 수 있는데, 이를 순서대로 배열했을 때, 만일 x의 놈이 1일 경우 순서대로 가장 큰 고유값이 최대값, 가장 작은 고유값이 최소값이 된다. 만약, A의 고유값이 모두 양수이고, 이 행렬이 대칭행렬이라면, 이 행렬을 양정치 행렬이라고 부른다. 이 양정치 행렬이 존재하기 위한 조건은 항상 그 행렬의 행렬값이 0 초과여야 한다는 것이다. 또한, 이 이차형..

Topic: 특수행렬. 처음으로는 지금까지 다뤘던 직교의 개념을 상기하려고 한다. 직교 행렬이라고 함은, 자신과 그 자신의 전치행렬에 대한 곱이 단위행렬이 되는 행렬, 다시 말해, 자신의 역행렬이 자신의 전치행렬인 행렬을 의미한다. 이러한 행렬이 가장 큰 특징으로는, 스펙트럼 분해가 가능하다는 것이다. 마찬가지로, 각 고유벡터의 행과 열은 유클리드 내적을 하게 될 때 직교하게 된다. 직교행렬의 행렬값은 1, 혹은 -1이 된다. 또한 고유값은 항상 1이 된다. 두 직교행렬의 곱은 항상 직교행렬이며, 이때 직교행렬의 역행렬도 위의 설명과 같이 직교행렬이다. 그러면, 직교대각화에 대해 더욱 알아보도록 해보자. 행렬의 직교대각화의 가장 큰 특징은, 그 행렬이 대칭행렬이라는 것이다. 그에 대한 스펙트럼 정리는 다..