EM 7. 편미분방정식

편미분방정식(이하 PDE라고 부를 것)은 독립변수가 2개 이상인 미지함수의 편도함수를 포함하는 방정식을 의미한다. 이는 대부분 시간 t와 그 외 여러 개의 공간 변수를 포함하고 있다. 정리한 것과 같이 파동방정식, 전도체의 온도, 박막의 진동 등의 라플라스 방정식에 해당한다. 

 

PDE는 단순한 물리계 뿐만 아니라 특히 양자역학에 있어 매우 중요한데, 특히 이에 대해 다루기 위해 단계적으로 접근해보자. 

 

상미분방정식이 한 개의 독립변수를 포함하는 보다 간단한 문제 모델로서 나오지만, 이에 대해 PDE는 특히 두 개 이상의 독립 변수를 갖는 점에서 상당히 중요하다는 것을 다시 말해본다. 특히 중요한 5가지 방정식을 적어보면

 

1. 1차원 파동방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

$$ u_{tt}=c^2u_{xx} $$

 

2. 2차원 파동방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

$$ u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy}) $$

 

3. 1차원 열전도 방정식은 다음과 같이 주어진다. 

 

$$ u_t=c^2u_{xx} $$

 

4. 2차원 라플라스 방정식은 다음과 같이 주어진다. 

 

$$ \triangledown^2 u=u_{xx}+u_{yy}=0 $$

 

5. 3차원 라플라스 방정식은 다음과 같이 주어진다. 

 

$$ \triangledown^2=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0 $$

 

여기서 식 1, 2는 쌍곡선형, 3은 포물선형, 4, 5는 타원형의 곡선이 그려지게 된다. 이에 대한 방정식들은 Laplacian 변환, 혹은 Fourier 변환을 통해 해를 구할 수 있는 것을 정리했다. 

 

주어진 영역에서 추가 조건을 만족하는 이 방정식이 해를 구하는데 관심을 주면 이때의 초기 조건을 고려해야 한다(시간 t=0일 때를 주로 고려하게 된다.). 또는 이에 대해 경계 조건(영역의 경계 S 또는 C에서 u 또는 도함수의 값이 기술 되는 조건을 의미한다.)을 고려하거나, 둘 다를 고려하는 방법이 있다. 

 

식 1, 2에서는 두 개의 초기 조건(초기변위와 초기 속도)이 주어지며, 식 3에 대해서는 초기 온도 분포가, 식 4, 5에서는 경계 조건이 주어지는데 이때 만일 S에서 u의 값이 주어지면 이를 Dirichlet 문제, S에서 

 

$$ u_n=\frac{\partial u}{\partial n} $$

 

이 주어지면 이를 Neumann 문제라고 한다. 다른 한 가지는 S의 한 영역에서 u 값이 주어지고 나머지 영역에서 u_n 값이 주어질 때를 혼합 문제라고 부른다.

 

이 PDE 문제를 해결하기 위한 방법은 변수분리법, 또는 곱의 방법을 통해 해를 얻을 수 있다. 여기서 해는 한 변수만 의존하는 함수들의 곱의 형태를 갖는다고 가정한다. 특히 

 

$$ u(x, t)=F(x)G(t) $$

 

로 주어지고 이는 식 1에서 주로 적용되는 방법이다. 물론 식 3에도 유사한 방법을 적용해 구할 수 있음을 정리했다. 이 식을 주어진 식에 대입하면 F와 G에 대한 ODE를 얻으며 이로부터 무한히 많은 해 F=F_n, G=G_n을 어을 수 있다. 이때 대응되는 함수를 고려해보면

$$ u_n(x, t)=F_n(x)G_n(t) $$

 

이 함수는 주어진 경계조건을 만족하는 PDE의 해가 된다. 이들이 이 문제에서 해당하는 고유함수이며, 대응되는 고유값으로부터 진동수, 열전도 등에서 말하는 온도의 강하 속도를 구할 수 있게 된다. 또한 초기조건이나 그 외 조건들을 만족하기 위해 u_n의 무한급수를 고려해야 한다. 여기서 이 급수의 계수는 주어진 초기조건을 표현하는 함수인 f와 g의 푸리에 계수가 되는 것이 판명되었다.

 

이때 푸리에 급수와 푸리에 적분은 근본적으로 중요하다. 

 

정상상태 문제는 해가 시간에 의존하지 않는 경우에 해당하며, 이때 열전도 방정식

$$ u_t=c^2 \triangledown^2 u $$

 

는 라플라스 방정식이 된다. 

 

초기 혹은 경계값 문제를 풀기 전에, 고려하는 영역의 경계를 간단한 공식에 의해 나타낼 수 있는 좌표로 주로 방정식을 변환하며, 이때 특히 극좌표계 변환을 상요한다. 이때의 라플라스 연산자는

 

$$ \triangledown^2 u=u_{rr}+\frac{1}{r} u_r+\frac{1}{r^2} u_{\theta \theta} $$

 

가 된다. 구좌표계에 대해서는 

 

$$ \triangledown^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} $$

 

으로 주어진다. 

 

이 개념을 기반으로 변수분리법을 적용하면 식 2와 극좌표계의 라플라스 연산자를 통해 Bessel's Equation을 얻을 수 있다. 이때 식 5와 구좌표계의 라플라스 연산자를 통해 Legendre's Equation을 얻을 수 있다.