EM 6. 푸리에 해석

이번에는 공업수학 2. 본격적인 편미분방정식과 푸리에 변환, 수치 해석에 대해 공부한 내용을 정리하려고 한다.

 

우선 푸리에 해석에 대해 짚고 넘어가고자 한다. 푸리에 해석은 본격적으로 푸리에 급수로부터 시작하여, 이 무한급수를 이용하여 주기 함수를 간단히 코사인과 사인으로 표현할 수 있게 설계되었다. 이 방식은 직교성을 가짐으로서 Euler 공식, e^ix=cosx+isinx을 이용하여 급수의 계산을 가능하게 만들어준다. 이는 강제 진동에 있어 상미분방정식의 해를 근사할 수 있도록 허용해준다. 

 

푸리에 급수의 전개는 크게 두 가지의 방법이 존재하며, 이는 삼각급수 방법을 이용한 전개로 Sturm-Liouville 전개를 얻을 수 있다. 나머지 한 가지의 방법은 그에 대해 푸리에 적분과 푸리에 변환을 얻는 것이다. 

 

서론은 이렇고, 본격적인 내용은 다음과 같다. 

 

푸리에 급수는 말한 것처럼 주기가 p=2L인 주기함수 f(x)에 대해 고려하는데, 이때 주기함수는 모든 x에 대해 p>0일 경우 f(x+p)=f(x)로 정의된다. 식 a를 다음과 같이 정의한다.

 

$$ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_ncos\frac{n \pi x}{L}+b_nsin\frac{n \pi x}{L} $$

 

로 공식을 적을 수 있으며, 이때 각 계수는 오일러 공식에 의해

 

$$ a_0=\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x)dx $$

 

$$ a_n=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) cos\frac{n \pi x}{L} dx $$

 

$$ b_n=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) sin\frac{n \pi x}{L} dx $$

 

으로 주어지며, 이때 n=1, 2, ... ,이다. 주기가 2π인 경우는 다음과 같이 간단히 주어진다.

$$ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_ncosnx+b_xsinnx $$

 

이때 f(x)의 푸리에 계수는

$$ a_0=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx $$

 

$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)cosnxdx $$

 

$$ b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sinnxdx $$

 

가 된다. 이러한 푸리에 급수는 주기적인 현상을 표현하는 것과 같이 미분 방정식을 포함하는 모델에서 아주 중요한데, 이것이 우함수, 혹은 기함수인 경우 그 함수들은 각각 푸리에 코사인 급수, 푸리에 사인 급수로 표현될 수 있다. 이는 만일 f(x)가 구간 0=<x=<L에서 함수를 가진다면, 그것은 주기가 2L인 함수에서의 두 종류 반구간 전개, 다시 말해 코사인 또는 사인 급수를 가질 수 있다. 

 

이에 대한 집합을 삼각함수 시스템이라고 하는데, 기본적인 성질은 길이 2L인 구간에서 직교성이다. 즉, 모든 정수 m과 n에 대해

 

$$ \int_{-L}^{L} cos\frac{m \pi x}{L} cos\frac{n \pi x}{L} dx=0 $$

 

 $$ \int_{-L}^{L} sin\frac{m \pi x}{L} sin\frac{n \pi x}{L} dx=0 $$

 

과 같이 주어지며

 

$$ \int_{-L}^{L} cos\frac{m \pi x}{L} sin\frac{n \pi x}{L} dx=0 $$

 

으로 표현할 수 있다. 

 

이 직교성은 Euler 공식의 유도에 사용된다. 

 

이러한 부분합은 제곱오차를 최소화 하는데, 가장 기본으로 적어놓은 식 a에서 다른 직교 시스템으로 대체하면 상미분 방정식의 경계치 문제인 Sturm-Liouville 문제에 이르게 되는데, 이를 고유치 문제라고 한다. 주파수와 에너지에 관련이 있는 매개 변수 λ를 동반하는데, 이 해를 고유 함수라고 부른다. 이때 일반적인 푸리에 급수로 불리는 푸리에-르장드르 급수와 푸리에-베셀 급수 등을 다른 직교 급수로 유사하게 고려할 수 있다.

 

푸리에 급수의 개념과 기법을 전체 실수에서 정의되는, 비주기적인 함수에 대해 확장하여 적용하는 것이 푸리에 변환이다. 이는 

 

$$ f(x)=\int_{0}^{\infty} [A(\omega)cos\omega x+B(\omega)sin\omega x]d\omega $$

 

로 정의하는데, 여기서

 

$$ A(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)cos\omega v dv $$

 

$$ B(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)sin\omega v dv $$

 

로 정의할 수 있다. 이에 대해 복소수 형식은 식 b로

 

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{i\omega x} d\omega $$

 

이고 여기서 식 c는

 

$$ \hat{f}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (x)e^{i\omega x} dx $$

 

로 고칠 수 있다. 식 b는 푸리에 역변환을 나타낸 식이며, 식 c는 푸리에 변환을 나타낸 식이다. 이와 관련해 푸리에 코사인, 사인 변환은 

 

$$ \hat{f}_c(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(x)cos\omega x dx $$

 

$$ \hat{f}_s(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(x)sin\omega x dx $$

 

과 같이 주어지게 되는데, 이때 이산 푸리에 변환과 이를 계산하는 방법인 고속 푸리에 변환이 있다.