EM 8. 복소수와 복소함수, 복소미분

복소수와 복소평면에서 복소수의 기하학적 도식에 대한 논의는 실적분학에서 복소적분학으로 전환하는 시작점이라고 할 수 있다. 특히 이에 대해 해석 함수를 다루며, 여부를 판단할 때 Cauchy-Riemann 방정식을 사용한다. 그리고 Laplace 방정식과의 연관성을 생각해본다. 

 

복소수는 다음과 같이 주어진다.

 

$$ z=x+iy=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta) $$

 

이때 

$$ r= \mid z \mid=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=arctan(x/y) $$

 

로 주어진다.

 

복소함수 f(x)=u(x, y)+iv(x, y)가 열린 영역 D의 모든 점들에 대해 도함수

 

$$ f'(z)=lim_{\triangle z\rightarrow 0} \frac{f(z+\triangle z)-f(z)}{\triangle z} $$

 

일 경우를 f(z)가 D에서 해석적이라고 할 수 있다고 한다. 이때 f(z)가 z_0 근방에서 도함수를 가지면 f(z)는 z=z_0에서 해석적이다. 

 

f(z)는 D에서 해석적이면 u(x, y)와 iv(x, y)는 D 내의 모든 점에서 다음과 같은 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하게 된다.

 

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x} $$

 

이때 u와 v는 D 내의 모든 점에서 Laplace 방정식인

 

$$ u_{xx}+u_{yy}=0, v_{xx}+v_{yy}=0 $$

 

을 만족한다. 이때 u(x, y)와 v(x, y)가 연속이고 D에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하는 편도함수를 가지면 그때 해석적이라고 한다. 

 

복소지수함수는 이와 같은 방정식으로 주어지게 된다.

$$ e^z=exp z=e^x(cosy+isiny) $$

 

이때 주기는 2πi이면서 도함수는 e^z이다. z=x일 때 e^x와 같다. 삼각함수는 그러므로 다음과 같이 주어질 수 있다.

 

$$ cosz=\frac{1}{2} (e^{iz}+e^{-iz})=cosxcoshy-isinxsinhy $$

 

$$ sinz=\frac{1}{2i} (e^{iz}-e^{-iz})=sinxcoshy-icosxsinhy $$

 

또한

 

$$ tanz=sinz/cosz, cotz=1/tanz $$

 

이다. 

 

쌍곡선함수는 

 

$$ coshz=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})=cosiz $$

 

$$ sinhz=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})=-isiniz $$

 

이다. 이때 이 삼각함수와 쌍곡선함수를 완전함수라고 하는데, 이는 복소평면의 모든 곳에서 해석적인 함수를 말한다. 

 

자연로그는 

 

$$ lnz=ln\mid z \mid+iargz=ln\mid z \mid+iArg\pm 2n\pi i $$

 

이다. 이때 z는 0이 아니며 n=0, 1, ... 이다. Arg z는 arg z의 주값을 말한다. 즉, -π<Arg z<π이다. 또한 ln z는 무한히 많은 값을 가지는데, n=0일 때 ln z 값을 주값이라고 하며, Ln z로 나타낸다. 결국

 

$$ lnz=ln\mid z \mid+iArgz $$

 

이다. 

 

일반 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

 

$$ z^c=e^{clnz} $$