EM 10. 거듭제곱 급수, Taylor 급수

이전에 복소적분을 Cauchy 정리를 이용해 풀 수 있었다. 이제 복소적분을 푸는데 있어 Cauchy와 Goursat의 방법이 아닌 다른 접근 방식에 대해 생각해보자. 이제 그것을 유수적분이라고 하는데, 이것을 다루기 이전에 먼저 거듭제곱 급수, Taylor 급수에 대한 이해를 먼저 시행하자. 그리고 이에 대한 수렴 판정을 구하고 해석 함수들이 Taylor 급수라고 하는 거듭제곱 급수로 나타내지며 균등수렴에 대한 이해를 마쳐야 한다. 

 

수렴, 급수 및 수렴 판정법은 미적분학에서 다룬 것과 같이 이루어지며, 거듭제곱 급수는

 

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+...+a_n(z-z_0)^n $$

 

으로 주어지며, z_0을 중심이라고 한다. R이 수렴반경일 때 이 급수는 \mid z-z_0\mid<R에 대해 수렴하며, \mid z-z_0\mid>R일 경우 발산한다고 한다. 일부 거듭제곱 급수는 모든 z에 대해 수렴한다. 이때 R=\infty로 쓴다.

 

예외적인 경우로 중심에서만 수렴하는 거듭제곱 급수도 있는데, 실제로 쓸모가 없다. 극한이 존재한다면

 

$$ R=lim\mid a_n/a_{n+1} \mid $$

 

이다. 이때 급수는 모든 닫힌 원판

 

$$ \mid z-z_0\mid \leq r<R $$

 

에서 만약에 R>0일 경우 절대수렴한다.

 

이때 이것을 균등수렴한다고 한다. 이는 \mid z-z_0\mid<R에서 해석함수 f(z)를 표현한다. 

 

도함수 f'(z), f''(z), ... 는 급수를 항별미분하면 얻을 수 있고, 이때 급수들은 원래의 급수와 같은 수렴반경을 가진다.

 

역으로 모든 해석함수 f(z)는 거듭제곱 급수로 표현될 수 있다. 이때 f(z)의 Taylor 급수는 미적분학에서와 같이

 

$$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(z_0)(z-z_0)^n $$

 

과 같은 형태가 된다. 이것은 중심이 z_0인 열린 원판 안의 모든 z에 대해 수렴하고 반지름은 일반적으로 z_0에서 가장 가까운 f(z)의 특이점, 다시 정의하면 f(z)가 더이상 해석적이지 않은 점까지의 거리와 동일하다. 만약 f(z)가 완전함수, 다시 정의하면 모든 z에 대해 해석적인 함수라면 Taylor 급수는 모든 z에 대하여 수렴한다. 

 

함수 e^z, cosz, sinz 등은 미적분학에서와 유사한 Maclaurin 급수, 다시 정의하면 중심이 0인 Taylor 급수를 갖는다.