14. 특수행렬

Topic: 특수행렬.

처음으로는 지금까지 다뤘던 직교의 개념을 상기하려고 한다. 직교 행렬이라고 함은, 자신과 그 자신의 전치행렬에 대한 곱이 단위행렬이 되는 행렬, 다시 말해, 자신의 역행렬이 자신의 전치행렬인 행렬을 의미한다. 이러한 행렬이 가장 큰 특징으로는, 스펙트럼 분해가 가능하다는 것이다. 마찬가지로, 각 고유벡터의 행과 열은 유클리드 내적을 하게 될 때 직교하게 된다.

직교행렬의 행렬값은 1, 혹은 -1이 된다. 또한 고유값은 항상 1이 된다. 두 직교행렬의 곱은 항상 직교행렬이며, 이때 직교행렬의 역행렬도 위의 설명과 같이 직교행렬이다.

그러면, 직교대각화에 대해 더욱 알아보도록 해보자.

행렬의 직교대각화의 가장 큰 특징은, 그 행렬이 대칭행렬이라는 것이다. 그에 대한 스펙트럼 정리는 다음과 같다.

지난번에 언급했듯이, 행렬은 고유벡터와 고유값을 통해 분해될 수 있는데, 중복되는 값까지 포함해 행렬은 n개의 고유값을 갖고 있으며, 이에 의해 만들어지는 모든 고유벡터는 서로 수직이다. 마찬가지로, 대수적 중복도는 기하적 중복도와 같은 값을 갖게 된다. 이때 A=PDP^T의 분해가 된다면, D의 원소는 각 고유값, P의 열벡터는 각 고유벡터를 설명 중인 것이게 되기 때문에, 이를 위의 수식과 같이 설명할 수 있다.

다음으로는 멱등행렬에 대한 내용이 나온다. 정방행렬에 대해 그 제곱이 원래의 행렬이라면, 그 행렬을 멱등행렬이라고 부른다.

각 특징은 행렬값은 1, 혹은 0을 갖게 되며, 똑같이 고유값도 1, 혹은 0을 갖게 된다. 가역적 행렬에 대해, 이 행렬이 멱등행렬이라면, 이 행렬은 단위행렬이라는 것을 의미한다. 이를 수식으로 풀어 설명하면, A^2=A, |A|=/0일 경우, A=I라는 것이다. 이에 반대되는, 비가역적이며 멱등행렬인 행렬은 특이행렬이라고 한다.

다음으로는 멱영행렬에 대한 내용이 나온다. 비슷하게 정방행렬에 대해 그 제곱이 0을 갖게 된다면, 그 행렬을 멱영행렬이라고 부른다.

각 특징은, 행렬값, 대각합, 고유방정식, 고유값 모두 0을 갖는다. 이때 A가 n차 정방행렬이라고 하면, A^n=0일 때, I-A의 행렬은 가역행렬이 된다.