EM 9. 복소적분

 

복소적분에 대한 논의를 해보자. 우선, Cauchy 적분 정리를 알아야 한다. 이는 Cauchy의 적분공식에 의해 해석적 피적분함수의 적분 계산을 할 수 있도록 유도하기 때문이다. 이 적분공식은 해석함수들이 모든 고계도함수를 가짐을 보여주는 결과로 생각될 수 있다. 복소해석함수는 특정한 차수까지만 도함수를 가지는 실변수의 실함수보다 더 간단하게 거동한다. 

 

이러한 복소적분은 감마함수, 오차함수와 다양한 다항식의 특수함수들과 연관되어 사용된다. 

 

경로 C에 대한 함수 f(z)의 복소선적분은 다음과 같이 주어진다.

$$ \int_C f(z)dz $$

 

이며 닫힌 경로에서는

 

$$ \oint_C f(z) $$

 

로 나타낸다. 만약 함수 f(z)가 단순 연결된 열린 영역 D에서 해석적이면 한 점 z_0에서 점 z_1까지 D 내의 모든 경로 C에 대해 미적분학에서처럼 부정적분과 상, 하한의 대입에 의해 식을 다시 정리할 수 있다.

$$ \int_C f(z)dz=F(z_1)_F(z_0) $$

 

이 가정은 경로의 독립을 생각한 것이며, z_0와 z_1에만 의존하는 식이다. 이때 C의 선택에는 무관하다. F'(z)=f(z)를 만족하는 F'(z)의 존재는 Cauchy의 적분정리에 의하여 증명된다. 

 

해석함수에 국한되지 않는 일반적인 적분방법은 C의 방정식 z=z(t)를 사용한다. 이때 a=<x=<b일 때 

 

$$ \int_C f(z)dz=\int_{a}^{b} f(z(t))z'(t)dt $$

 

로 나타낼 수 있다. 이때 Cauchy 적분정리는 가장 중요한 정리라고 할 수 있다. f(z)가 단순 연결된 영역 D에서 해석적이라면 D 내의 모든 닫힌 경로에대해 

 

$$ \oint_C f(z)dz=0 $$

 

이 된다. 이와 같은 생각으로 D에서의 임의의 점 z_0와 내부에 z_0을 포함하고 있는 영역 D 안의 임의의 닫힌 곡선 C에 대해 Cauchy의 적분공식

$$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz $$

 

를 얻는다. 이때 f(z)는 D에서 모든 계의 도함수를 가지며, 이 도함수는 D에서 해석함수이다. 마찬가지로 

$$ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}} dz $$

 

를 유도할 수 있는 걸 확인할 수 있다. 이는 Morera 정리(=Cauchy 적분정리의 역)와 전 복소평면에서 유계인 완전함수는 반드시 상수여야 한다는 Liouville 정리를 성립하게 하는 Cauchy 부등식을 유도한다.