EM 11. Laurent 급수, 유수적분

복소적분과 실적분의 값을 계산하는 강력한 적분법인 유수적분에 대해 알아보자. 이전에는 첫번째로 Cauchy 적분공식의 적용, 두번째는 Taylor 급수를 이용하는 방법이 있었다면, 유수적분은 이에 대한 이론을 종합하여 정리하였다는 것에 의의가 있다. 특히 Laurent 급수는 Taylor 급수를 일반화 한 것이다. 이 급수는 양과 음의 거듭제곱의 급수를 의미한다. 이때 특이성의 주부와 유수 등을 알아보자. 

 

Laurent 급수는 다음과 같은 형태로 주어진다.

$$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{(z-z_0)^n} $$

 

더 간단히 쓰게 되면 

 

$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n, a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z^*)}{(z^*-z_0)^{n+1}} dz^* $$

 

가 된다. 이때 n=0, -1, 1, -2, 2, ... 등이다. 이 급수는 중심이 z_0이 중심인 열린 환형 A 안에서 수렴한다. A 안에서 이 함수 f(z)는 해석적이며 A 안에 있지 않은 점에서 특이점을 가질 수 있다. Laurent 급수에서 첫 번째 급수는 거듭제곱 급수이다. 주어진 환형 안에서 f(z)의 Laurent 급수는 유일하지만, f(z)는 똑같은 중심을 갖는 서로 다른 환형에서 서로 다른 Laurent 급수를 가질 수 있다.

 

특히 중요한 것은

 

$$ 0<\mid z-z_0\mid<R (R>0) $$

 

일 경우 z_0 자신을 제외한 z_0 근방에서 수렴하는 Laurent 급수이다. 이 Laurent 급수에서 음의 거듭제곱의 급수 또는 유한 합은 z_0에서 f(z)의 주부, Principal Part라고 불린다. 이 급수에서 1/(z-z_0)의 계수 b_1은 z_0에서 f(z)의 유수, Residue라고 불리며 다음과 같다.

 

$$ b_1=Res_{z\rightarrow z_0} f(z)=\frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z^*)dz^* $$

 

$$ \oint_C f(z^*)dz^*=2\pi iRes_{z=z_0} f(z) $$

 

이다. b_1은 적분 계산에 사용될 수 있으며, 이 이유는 만일 f(z)가 z_0에서 위수 m의 극을 갖는다고 하면 유수가

 

$$ Res_{z=z_0} f(z)=\frac{1}{(m-1)!} lim_{z\rightarrow z_0}(\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \mid(z-z_0)^m f(z)\mid ) $$

 

로부터 구해질 수 있기 때문이다. 이것은 정의에 의해 다시 설명해보면 주부가 1/(z-z_0)^m을 음의 최고차항으로 갖는다는 것을 의미한다. 따라서 단순극, m=1일 경우 다음과 같다.

$$ Res_{z=z_0} f(z)=lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)f(z) $$

 

$$ Res_{z=z_0} \frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)} $$

 

만일 주부가 무한급수라면 z_0에서 f(z)의 특이점은 진성특이점이라고 불린다. 그리고 확장된 복소평면에서, 이상점이 첨가된 복소평면에 대하여 생각할 수 있다.

 

유수적분은 또한 몇 종류의 복잡한 실적분을 계산하는 데도 사용될 수 있다.