15. 이차형식

Topic: 이차형식

어느 2개의 변수로 놓여진 이차방정식이 존재한다면, 그것을 대칭행렬로 표현할 수 있게 되는데, 이를 이차형식이라고 한다. 이는 2, 3개의 변수에 적용할 수 있으며, 이 또한 분해를 통해 표현할 수 있게 된다. 물론, 2개의 변수의 경우 이는 특히 대각값에서 같은 값을 갖게 되는 행렬이 된다.

이곳에서의 고유값은 적어놓은 식을 통해 구할 수 있는데, 이를 순서대로 배열했을 때, 만일 x의 놈이 1일 경우 순서대로 가장 큰 고유값이 최대값, 가장 작은 고유값이 최소값이 된다.

만약, A의 고유값이 모두 양수이고, 이 행렬이 대칭행렬이라면, 이 행렬을 양정치 행렬이라고 부른다.

이 양정치 행렬이 존재하기 위한 조건은 항상 그 행렬의 행렬값이 0 초과여야 한다는 것이다.

또한, 이 이차형식을 만드는 것에 있어, 행렬의 행렬값을 통해서도 그 곡선이 어떤 곡선인지 알 수 있는데, 행렬값이 0일 경우는 포물선, 0을 넘을 경우 원, 타원, 원뿔 곡선, 0을  넘지 않을 경우는 쌍곡선임을 말한다.

물론, 이 이차방정식이 결과가 0을 갖게 되어도 행렬값이 0일 경우는 1개의 직선, 0이 아닐 경우는 2개의 직선을 의미하게 된다.

이때 이차형식이 혼합값을 제거하기 위해서는 고유값을 통해 이차형식에 대한 변형이 가능하다.