For myself

Topic: 이차형식 어느 2개의 변수로 놓여진 이차방정식이 존재한다면, 그것을 대칭행렬로 표현할 수 있게 되는데, 이를 이차형식이라고 한다. 이는 2, 3개의 변수에 적용할 수 있으며, 이 또한 분해를 통해 표현할 수 있게 된다. 물론, 2개의 변수의 경우 이는 특히 대각값에서 같은 값을 갖게 되는 행렬이 된다. 이곳에서의 고유값은 적어놓은 식을 통해 구할 수 있는데, 이를 순서대로 배열했을 때, 만일 x의 놈이 1일 경우 순서대로 가장 큰 고유값이 최대값, 가장 작은 고유값이 최소값이 된다. 만약, A의 고유값이 모두 양수이고, 이 행렬이 대칭행렬이라면, 이 행렬을 양정치 행렬이라고 부른다. 이 양정치 행렬이 존재하기 위한 조건은 항상 그 행렬의 행렬값이 0 초과여야 한다는 것이다. 또한, 이 이차형..

Topic: 특수행렬. 처음으로는 지금까지 다뤘던 직교의 개념을 상기하려고 한다. 직교 행렬이라고 함은, 자신과 그 자신의 전치행렬에 대한 곱이 단위행렬이 되는 행렬, 다시 말해, 자신의 역행렬이 자신의 전치행렬인 행렬을 의미한다. 이러한 행렬이 가장 큰 특징으로는, 스펙트럼 분해가 가능하다는 것이다. 마찬가지로, 각 고유벡터의 행과 열은 유클리드 내적을 하게 될 때 직교하게 된다. 직교행렬의 행렬값은 1, 혹은 -1이 된다. 또한 고유값은 항상 1이 된다. 두 직교행렬의 곱은 항상 직교행렬이며, 이때 직교행렬의 역행렬도 위의 설명과 같이 직교행렬이다. 그러면, 직교대각화에 대해 더욱 알아보도록 해보자. 행렬의 직교대각화의 가장 큰 특징은, 그 행렬이 대칭행렬이라는 것이다. 그에 대한 스펙트럼 정리는 다..

Topic: 정교직교화 과정과 최소 제곱해 어느 내적 벡터 공간에서 서로 다른 2개의 벡터가 모두 직교할 경우 그것을 직교 벡터라고 부른다. 마찬가지로, 그것에 맞춰 단위 벡터로 이루어진다면 그것을 정교직교 벡터라고 부른다. 그것에 대해 그람-슈미트 직교화 과정이 존재한다. 이는 간단히 말해 직교화를 이루기 위해 정사영이 필요하다는 것이고, 한 벡터 공간에서 처음 기저가 그것의 벡터가 된다면, 정사영 과정을 거쳐 다음 기저에 대해 벡터를 구할 수 있게 된다. 마찬가지로, 한 벡터 공간의 부분 공간에 대해 모든 벡터가 직교일 경우, 그것을 직교 행렬이라고 한다. 이때, 행렬의 행공간에 대한 직교 행렬은 그것의 해공간이며, 반대로 열공간에 대한 직교 행렬은 "기존 행렬의 직교 행렬"에 대한 해공간이 될 것이..

Topic: 벡터의 추이변환과 내적. 선형 변환에 있어서 순서기저, 즉 이를 변경하기 위해서는 추이 행렬이 필요하게 된다. 이는 다른 순서기저로의 선형 변환의 이동이 필요할 경우 해당 공식에 의해 결정되게 된다. 두번째로, 내적이 등장한다. 이는 각 조건에 해당할 경우, 그때의 행렬 연산을 내적이라고 하며, 그 내적이 가능한 벡터 공간을 내적 공간이라고 한다. 이때, 각 벡터에 대해 크기와 길이를 결정할 수 있는데, 이를 놈 공간과 길이 공간으로 설명할 수 있다. 그리고 이에 대해 벡터 사이 각으로 표현하게 된다면 사영과 같은 개념으로 연결할 수 있다.

Topic: 선형변환의 핵과 상, 그리고 선형 변환의 합성. 선형 변환에서도 핵과 상이라는 개념이 존재하며, 완벽히 그 개념을 일반화할 수는 없지만, 이는 간단히 행렬에서의 계수와 영공간과 이어지는 개념이라고 할 수 있겠다. 특히 이를 통한 차원 정리 또한 일치하게 된다. 이는 연계 개념이라는 것을 기억하도록 하자. 합성과 같은 경우는 함수와 비슷한 내용이다. 다만, 합성을 통해 얻어진 상은 다른 방법으로 접근해야 한다.

Topic: 행렬의 거듭제곱과 선형 변환 이제부터 정말 중요한 문제가 나오면서, 선형대수학이 왜 필요한지 보여줄 수 있는 영역을 언급할 것이다. 우선, 행렬의 거듭제곱부터 이야기 하겠다. 당연하지만 행렬 A라는 것에 대해 n승을 할 경우 그것이 기하급수적으로 숫자가 커졌을 때 당연히 기본적인 연산을 통한 추론은 불가능 할 것이다. 이것을 간단하게 분해하기 위한 방법이 지난 주제에서 본 대각화에 의존하게 될 것이다. 우선, 어느 정방 행렬이 존재할 때, 특히 그것이 2차 정방행렬일 때, 그것의 대각 행렬에 대한 거듭제곱은 상당히 쉬워진다. 물론, 이것을 확장하여 본격적인 대각화를 취하게 된다면, 지난 번 보았던 행렬의 닮음의 정의에 의하여 A=PDP^-1로 정의될 수 있을 것이다. 이는 앞에서 배운 고유값..

Topic: 행렬의 닮음과 대각화. 이제부터 왜 고유값을 배운 것인지, 그리고 어떻게 사용할 것인지, 그리고 그 행렬이 어떻게 적용될 것인지에 대해 논하도록 한다. 대각행렬부터 살펴보자. 이는 대각선, 다시 말해, a_ij가 a_ii와 같은 원소를 제외한 모든 원소가 다 0일 때의 행렬을 의미한다. 그 말은, 이때의 대각합이 곧 이 0을 제외한 모든 원소의 합과 같다고 할 수 있겠다. 이제, 이의 특징을 알아보자. 우선, 어느 행렬의 닮음에 대해 논하겠다. 이는 두 정방행렬이 존재할 경우, 한 행렬 P에 대해 행렬 연산의 결과가 다른 행렬과 같을 경우를 의미한다. 이것은, 대각 행렬이 이미 계수 행렬과 같음에 대해 생각하여 대각행렬을 이 과정을 통해 구할 수 있다는 것을 내포할 수 있다. 물론, 모든 행..

Topic: 고유값과 고유벡터 행렬에서 어쩌면 연산을 빠르게 할 수 있는, 그리고 앞으로 계속 나올 미분 방정식 풀이에서 가장 유용할 고유값과 고유벡터에 대한 내용이다. 고유값은 어느 벡터 v에 대해 계수 행렬과 그 곱의 결과가 같은 스칼라 값을 의미한다. 이는 간단한 특성방정식을 통해 구해질 수 있으며, 이렇게 구한 값을 고유값이라고 부른다. 이후, 이 고유값을 계수 행렬에서 뺀 값에 대해 구할 수 있는 벡터가 고유벡터이다. 이러하 고유 벡터를 통해 나중에 나올 대각화가 굉장히 쉬워지게 된다. 더불어, 케일리-해밀턴 정리가 존재하는데 이는 행렬에 대한 개념이니 잘 익혀야 한다.

Topic: 정사영. 정사영이라고 한다면 어느 벡터가 임의의 벡터에 대해 90도의 각도로 사영되는 것이라고 어림잡아 이야기 할 수 있을 것이다. 이는, 각도가 연속적인 타 사영과는 다른 사영의 특징을 갖고 있다. 기본적으로, 이전에 대해 3차원 좌표계에서의 어느 한 점이 원점으로부터 출발해 벡터를 형성할 때, 그것을 각 각도에 맞춰 표현할 수 있을 것이다. 그것을 통해 "벡터 정사영"과 "스칼라 정사영"을 구분할 수도 있을 것이다. 그러므로, 이때의 각도는 어느 벡터에서 임의의 좌표에 대한 단위 벡터를 코사인으로 표현한 값이 되므로, 기본적인 스칼라 정사영에서 이 코사인 값을 곱하게 되면 벡터 정사영이 되는 것이다.

' Topic: 행렬 공간 결국 행렬 공간에서 말하고자 하는 것은 "행렬 공간은 행공간과 열공간 개념으로 이해될 수 있으며, 그에 이어지는 동차 연립방정식에서의 해공간을 영공간으로 부른다, 그렇지 않고 단순한 행렬 공간에서의 X는 상공간으로 불린다."라는 것이다. 이는 곧 이어지는 차원 정리에서 더욱 중요한 개념으로 다뤄진다. 차원 정리는 간단히 계수 행렬의 계수와 영공간의 계수의 합은 곧 열의 개수와 같다는 내용이다. 이는 더욱 접근하여 대칭 행렬 중 nxn 행렬에 대해 적용하게 된다면, 그리고 그 행렬이 가역적, 다시 말해 행렬식이 0이 아닌 경우, 그러할 경우에는 정방 행렬의 기약 사다리꼴 형식은 단위 행렬으로 남게 될 것이다. 이는, 다시 말해 "각 행이 서로 독립인 상태"를 의미하므로, 이때 정..