EM 12. 등각사상

등각사상은 퍼텐셜 문제를 풀음에 있어 상당히 유용한 도구이다. 특히 2차원 퍼텐셜 이론에서 경계값 문제를 푸는데 있어 가장 표준적인 방법이다. 등각사상의 가장 큰 특징은 각도가 유지되며-물론 몇 임계점을 제외한다면 말이다, 복소수 해석을 기하학적으로 접근할 수 있도록 만들어준다. 더불어 복소함수 w=f(z)가 z 평면의 어느 정의역 D에서 정의된다면 D의 각점에 대해 w 평면상에 대응되는 점을 얻을 수 있으며, 이를 w 평면에 f(z) 값으로 이루어진 치역 위로의 사상을 얻는다. 해석함수인 경우 도함수가 f'(z)=0이 아닌 점을 포함해서 모두 등각사상으로 생각한다. 

 

복소함수 w=f(z)는 복소 z 평면상의 정의역으로부터 복소 w 평면으로의 치역으로 사상한다. f(z)가 해석적이면 이 사상은 등각이라고 하며, 각보존적이다. 어떤 두 개의 교차하는 곡선의 상들은 크기와 방향이 똑같은 교차각을 만드는데 이때 f'(z)=0인 점에서는 예외로 각이 보존되지 않고 이를 임계점이라고 한다.  

 

선형분수변환, 다른 말로 Möbius 변환이라고 불리는 

 

$$ w=\frac{az+b}{cz+d} $$

 

이때 ad-bc가 0이 아닌 경우 확장 복소평면을 그 자체에 사상한다. 이것은 반평면에서 반평면, 혹은 원판과 원판에서 원판, 아니면 반평면으로 사상할 수 있게 해준다. 우리는 세 점의 상으로부터 유일하게 위의 식을 결정할 수 있다. 

 

Riemann 곡면은 분지점이라고 하는 어떤 점에 연결된 여러 개의 겹쳐진 판으로 이루어진다. 그것들에서 다가 관계가 단일 값으로 바뀌어 일반함수와 같이 된다. 예를 들어

 

$$ w=\sqrt{z} $$

 

는 값을 2개 갖기에 두 개의 판, 분기점이 0인 것이 필요하다. 이때 

 

$$ w=lnz $$

 

는 무한히 많은 값을 가지기에 무한히 많은 판이 필요하다.