EM 13. 복소해석과 퍼텐셜 이론

이전에 살펴본 등각사상의 기하학적 접근법은 z 평면의 정의역 D에 정의된 복소수 해석함수 w=f(z)에서 D의 각점이 w 평면에 대응하는 점과 연관되며 도함수 f'(z)가 임계점을 제외하고 등각사상이 되는 것을 알 수 있게 만들어줬다. 이제 퍼텐셜 문제에 대해 적용하게 된다. 특히 라플라스 방정식을 위주로 상펴보며, 이를 퍼텐셜 이론과 관련해 일반적인 의미로 나타낼 것이다. 

 

퍼텐셜 이론은 Laplacian Equation인

 

$$ \triangledown^2\phi=0 $$

 

의 해에 관한 이론이다. 2계 편도함수가 연속인 해를 조화함수라고 한다. 이 식은 물리학에서 2차원과 3차원에 적용가능한 가장 중요한 편미분방정식이다. 이러한 형태는 정전기학, 정상상태 열흐름 문제, 유체흐름, 중력 등에 관한 문제에 나타난다. 3차원의 경우 또 다른 방법이 요구되는 반면, 2차원 퍼텐셜이론은 복소해석으로 다루어질 수 있다. 이는 해석함수의 실수부와 허수부를 조화함수로 생각할 수 있기 때문이다. 등각사상에서 조화함수는 유지되므로, 등각사상은 라플라스 방정식에 대한 경계값 문제를 푸는데 있어 효과적인 도구가 된다. 라플라스 방정식에서 실퍼텐셜 Φ이 주어지면 복소퍼텐셜의 경우 다음과 같이 찾아질 수 있다.

 

$$ F(z)=\phi+i\psi $$

 

이때 Φ가 상수인 곡선모임들과 Ψ가 상수인 곡선모임들은 둘 다 물리적 의미를 갖는다. 정전기학에서 이 선들은 등퍼텐셜 선과 전기력선이 되고, 열흐름 문제에 있어서는 등온선과 열흐름선이 된다. 또 유체흐름에서는 속도퍼텐셜의 등퍼텐셜 선과 흐름선이 된다. 

 

원판에 대한 Dirichlet 문제는 Poisson 적분공식에 의해 주어지거나, 경계에서 주어진 경계값의 Fourier 급수가 되는 한 급수로 주어진다.

 

조화함수는 해석함수와 마찬가지로 많은 일반적인 성질을 갖게 되는데, 평균값 성질과 최대절대값 성질은 매우 중요하며, Dirichlet 문제의 해에게 유일성을 줄 수 있다.