EM 5. 라플라스 변환

모든 미분 방정식을 풀기 위해 존재하는 과정. 공업수학의 가장 기본적인 것이니 잘 알자.

 

간단히 라플라스 변환은 함수 자체의 공간을 변형시켜 풀기 어려운 미분방정식의 고유값만 가져와 계산하는 방법이다. 이는 라그라지언의 기호를 사용해 적혀지기도 한다. 간단히 

 

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) dt $$

 

로 표현되게 하는 과정을 라플라스 변환이라고 할 수 있겠다. 이는 선형 변환으로, 간단한 선형 연산에 있어 똑같은 적용을 받는다고 정리할 수 있다. 

 

이에 대해, 평행이동이 가능한데, 이는 다음과 같이 e^at가 함수에 곱해졌을 경우 a만큼 이동한다는 것을 보일 수 있다. 더불어 도함수의 경우는 

 

$$ L{f'(t)}=sL{f(t)}-f(0) $$

 

으로 정리가 가능해지며, 이를 일반화 하면

 

$$ L{f(t)^n}=s^nL{f(t)}-s^{n-1}f(0)-...-f^{n-1}(0) $$

 

으로 정리가 가능해진다. 

 

반대로 적분의 경우에는

 

$$ L{\int_{0}^{t} f(t)dt}=\frac{1}{s} F(s) $$

 

로 정리할 수 있다. 이를 통해 라플라스 변환으로 n계 상미분방정식을 풀 수 있다.

 

그 외에도, 헤비사이드 함수, 어느 한 점의 아주 짧고 강한 충격을 나타내는 디랙 델타 함수 등이 나와 있으니 잘 생각해보자.