EM 2. 2계 선형 상미분방정식

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이 장에서는 2계 상미분방정식에 대한 풀이법을 다루었다. 특히 변수 분리법, 오일러-코시 방법, 론스키안을 잘 알자.

 

지난 번에 살펴본 1계 상미분방정식에 이어 2계 상미분방정식에 대해 알아보자. 

 

$$ y''+p(x)y'+q(x)=r(x) $$

 

의 형태로 쓰일 수 있다면 이것을 선형, 그렇지 않으면 비선형이라고 부른다. 이때, 2계 도함수가 순수한 상태로 존재한 것을 표준형이라고 한다. 

$$ y''+p(x)y'+q(x)=0 $$

 

인 경우, 이를 제차라고 부른다. 또한, p(x), q(x)를 계수라고 부른다. 이때 함수 h(x)가 열린 구간 I에서 정의되고, 두 번 미분 가능하며, 미지의 y를 h, 도함수를 y', h'로 생각하면 

 

$$ y=h(x) $$

 

을 열린 구간 I에서 2계 상미분방정식의 해라고 부른다. 이제 중첩의 원리를 알아보자. 해를 

 

$$ y=c_1y_1+c_2y_2 $$

 

로 얻을 수 있다면 이 형태를 1차결합이라고 한다. 이를 중첩의 원리, 혹은 선형의 원리라고 한다. 이 정리는 제차 상미분방정식에만 적용이 되며, 나머지 상미분방정식에 적용이 되지 않음을 기억해야 한다. 

 

이제 2계 제차 상미분방정식에 대해 알아보자. 이에 대한 초기값 문제의 두 개의 초기값이 필요하다. 

 

$$ y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1 $$

 

으로 구성이 된다. 이 조건은 열린 구간 내에 동일하게 주어진 점 x=x_0에서의 해의 값과 그 1계 도함수를 지정하게 된다. 이때 일반해인

 

$$ y=c_1y_1+c_2y_2 $$

 

를 얻는데 이때 y_1, y_2는 상미분방정식의 적당한 해이다. 이 점을 지나며, 접선방향으로 갖는 유일한 해에 대해 특수해라고 부른다. 만일 이때 c_1과 c_2가 0이 아니라면 이를 1차 종속, 0이 자명한 해라면 이를 1차 독립이라고 부른다. 이때 해의 기저는 구간 I에서1차 독립인 식인 이 해의 쌍이다. 

 

그러므로, 한 개의 해를 알 경우 기저를 구하는 방법인 계수내림에 대해 알아보자.

 

열린 구간 I에 대해 y_2를 얻기 위해, 

 

$$ y=y_2=uy_1 $$

 

임을 생각하자, 그러면

$$ y'=y'_2=uy'_1+u'y_1 $$

 

이고 

 

$$ y''=y''_2=u''y_1+2u'y'_1+uy''_1 $$

 

이 된다. 이를 위의 식에 대해 대입해 전개하면

 

$$ U=\frac{1}{y_1^2} e^{-\int p dx} $$

 

가 된다. 다시 정리하면

$$ y_2=uy_1=y_1\int U dx $$

 

가 된다.

 

다음은 상수계수를 갖는 제차 상미분방정식에 대해 알아보자. 

 

$$ y''+ay'+b=0 $$

 

이르는 제차 선형상미분방정식이 존재한다고 생각하자. 우선 상수계수 k를 갖는 1계 상미분방정식

$$ y'+ky=0 $$

 

의 해는 

 

$$ y=ce^{-kx} $$

 

임을 생각해보자. 그렁다면 이 2계 제차 상미분방정식의 해는

$$ y=e^{\lambda x} $$

 

라는 식을 줄 것이다. 이를 각각 미분해

$$ y'=\lambda e^{\lambda x}, y''=\lambda^2 e^{\lambda x} $$

 

를 식에 대입하면

$$ (\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x}=0 $$

 

이라는 식을 얻는데, 이를 특성방정식이라고 부른다. 이때

 

$$ \lambda^2 + a\lambda + b=0 $$

 

이라면 지수함수인 위의 식이 상미분방정식의 해가 된다. 이제, 이 λ 값에 따라 달라지는 것을 분류해보면 다음과 같다. 

 

$$ \begin{cases} c_1e^{\lambda _1 x}+c_2e^{\lambda_2 x} & (a^2-4b>0)\\(c_1+c_2x)e^{-ax/2} & (a^2-4b=0)\\ e^{-ax/2}(Acos \omega x+Bcos \omega x) & (a^2-4b<0)\end{cases} $$

 

이를 따라, 오일러 공식을 얻을 수 있는데, 다음과 같다.

$$ e^{it}=cost+isint $$

 

다음은 오일러-코시 방정식에 대해 알아보자. 

 

$$ x^2y''+axy'+by=0 $$

 

인 방정식을 오일러-코시 방정식이라고 부른다. 이때는 y=x^m을 대입한다. 같은 방식으로

$$ m^2+(a-1)m+b=0 $$

 

의 식을 얻을 수 있고. 이도 당연히 

 

$$ \begin{cases} c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2} & ((a-1)^2-4b>0)\\(c_1+c_2lnx)x^m & ((a-1)^2-4b=0)\\ x^{m}(Acos ln x+Bcos lnx) & ((a-1)^2-4b<0)\end{cases} $$

 

로 구분이 가능하다.  

 

다음은 론스키안에 대한 내용이 나온다. 이를 살펴보자. 일반적인 제차 상미분방정식의 해를 구하여 이론적으로 p(x)와 q(x)가 어떤 열린 구간 I에서 연속함수이고, x_0가 구간 I 내에 있다면 이때 초기값 문제는 구간 I에서 유일한 해 y(x)를 갖는다는 것을 이론적으로 생각해보자. 

 

지난 번에 본 듯이, 해의 1차 독립은 다음과 같이 정의된다. 

 

$$ k_1y_1+k_2y_2=0 $$

 

일 때,

 

$$ k_1, k_2=0 $$

 

인 것이 자명하다면, 이를 1차독립, 그렇지 않다면 이를 1차종속이라고 한다. 

 

상미분방정식이 열린 구간 I에서 연속인 계수 p(x)와 q(x)를 갖는다고 할 때, 구간 I에서 두 개의 해 y_1, y_2가 구간 I에서 1차종속이 되기 위한 필요충분조건은 

 

$$ W(y_1, y_2)=y_1y'_2-y_2y'_2 $$

 

이 구간 I 내의 어떤 x_0에서 0이 되는 것이다. 더욱, 구간 I 내의 한 점 x=x_0에서 W=0이라면 구간 I에서 W=0이다. 이때 W가 0이 아닌 x_1이 구간 내에 있다면 이때 두 해는 일차종속임을 의미한다. 이 식은 더욱 간단히

 

$$ W(y_1, y_2)=(\frac{y_2}{y_1})^{'}y_1^2 or -(\frac{y_1}{y_2})y_2^2 $$

 

으로 정리할 수 있다. 이때 론스키안 행렬식은 간단히 론스키안이라고 부른다.

 

마지막으로, 비제차 상미분방정식에 대해 알아보자. 

 

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) $$

 

일 때, 비제차 상미분방정식의 경우 일반해는 

 

$$ y(x)=y_p(x)+y_h(x) $$

 

로 주어진다. 이때 y_h(x)를 일반해, y_p(x)를 특수해라고 부른다. 이 비제차 상미분방정식의 일반해는 모든 해를 포함하게 된다. 이를 풀기 위한 가장 대표적인 방법이 미정계수법이다. 

 

이에 대한 간단한 규칙을 적자면 다음과 같다. 

 

1. r(x)에 들어 있는 함수를 고른다. 예시로, ke^rx의 꼴일 경우, Ce^rx의 형태로 식에 대입하여 특수해를 얻는다. 

 

2. 이때 선택된 항이 항등식을 형성할 경우, 그것의 형태에 x를 곱한다. 그것이 안 될 경우 x^2을 곱한다. 

 

3. r(x)가 두 다른 함수의 합일 경우, 특수해도 그 함수마다 따로 구하여 더한다. 

 

이를 매개변수 변환에 의한 풀이로도 구할 수 있다. 이때 Lagrange(라그랑주)의 방식을 살펴보면, 각 일반해의 기저를 y_1, y_2라고 하자. 

 

$$ y_p(x)=-y_1\int \frac{y_2r}{W} dx+y_2\int \frac{y_1r}{W} dx $$

 

로 구할 수 있다.