EM 4. 연립 상미분방정식

상미분방정식에 대해 푸는 방법 중 연립 상미분방정식을 푸는 방법. 그렇게 어려운 내용은 아니니 기억하자. 특히 연립 선형상미분방정식의 경우, 공학적 응용 모델에서 상당히 많이 사용되니, 그에 따른 원리를 잘 익히자.

 

가장 기본적으로, 연립 선형상미분방정식의 해법은 특성방정식으로부터 시작된다. 예를 들어

 

$$ \begin{cases} y'_1=-0.02y_1+0.02y_2\\y_2'=0.02y_1-0.02y_2\end{cases} $$

 

의 경우를 생각해보자. 이를 열벡터와 행렬을 가진 벡터방정식으로 바꾸면

 

$$ \left(\bein{array}{} -0.02 & 0.02\\0.02 & -0.02\end{array}\right) $$

 

로 표현할 수 있다. 이때 단일 상미분방정식에 대해서와 같이 t에 대한 지수벡터함수를 곱하면

 

$$ Ax=\lambda x $$

 

로 표현할 수 있고, 이를 특성방정식을 구한 방법이라고 한다.

 

$$ det(A-\lambda I)=\begin{bmatrix}-0.02-\lambda & 0.02\\0.02 & -0.02-\lambda $$

 

로 하면

 

$$ (-0.02-\lambda)^2-0.02^2, \lambda(\lambda + 0.04)=0 $$

 

$$ \lambda=0 or -0.04 $$

 

가 된다. 특성값을 구했으므로 특성벡터를 구하면

 

$$ -0.02x_1+0.02x+2=0. (-0.02+0.04)x_1+0.02x_2=0 $$

 

을 연립방정식으로 구해 

 

$$ y=c_1x_1e^{\lambda_1 t}+c_2x_2e^{\lambda_2 x}=c_1 \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}+c_2 \begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix}e^{-0.04t} $$

 

로 나타낼 수 있다. 

 

또한, 다른 풀이로는 n계 상미분방정식을 1계 연립상미분방정식으로 변환하는 방법이다. 이는

$$ y^{n}=F(t, y, y', ..., y^{n-1} $$

 

일 경우 

 

$$ y_1=y, y_2=y', ... y_n=y^{n-1} $$

 

로 하여 변환하는 방법이다. 

 

선형연립방정식의 경우, 다음과 같이

 

$$ y'=Ay+g $$

 

의 경우로 나타낼 수 있으며, g=0인 경우 이를 제차라고 한다. 그렇지 않은 경우를 비제차라고 한다. 이도 마찬가지로 중첩의 원리, 선형성의 원리를 적용받는다.