EM 3. 고계 상미분방정식

라플라스 변환이 나오기 이전에 잘 쓰이는 방법. 잘 알아두자.

 

우선, 고계 상미분방정식을

$$ F(x, y, y', ..., y^{(n)} $$

 

으로 정리하자. 이를 n계 상미분방정식이라고 정의해보자. 

 

이때, 

 

$$ y^{n}+p_{n-1}(x) y^{n-1}+...+p_1(x) y'+p_0(x )y=r(x) $$

 

라고 할 때 이 상미분방정식을 선형이라고 부른다. 그 중, y^n의 계수는 1일 경우, 이를 표준형이라고 부르며

 

$$ y^{n}+p_{n-1}(x) y^{n-1}+...+p_1(x) y'+p_0(x) y=0 $$

 

일 경우, 이를 제차라고 부른다. 이때 어떤 열린 구간 I에서 주어진 n계 상미분방정식의 해는 구간 I에서 정의되고 n번 미분 가능한 함수 y=h(x)로써 미지의 함수 y와 그 도함수들을 h와 대응하는 h의 도함수들로 정의할 때 주어진 상미분방정식이 항등식이 되게 하는 함수이다. 

 

이제, 지난 번에 살펴본 중첩의 원리를 생각해보자. 제차 선형상미분방정식에 대해 어떤 열린 구간 I에서의 해들의 합과 해들에 상수를 곱한 것은 구간 I에서 해가 된다. 그러나 이는 비제차, 비선형 상미분방정식에 대해 거짓인 명제이다. 즉, 이때 일반해는

 

$$ y(x)=c_1y_1(x)+...+c_ny_n(x) $$

 

로 정의된다. 이때 y_1, y_2, ..., y_n을 해의 기저라고 부른다. 이는 구간 I에서 일차독립이다. 이때 n개의 상수에 대해 특정한 값을지정하면 구간 I에서의 특수해가 얻어진다. 또한

 

$$ k_1y_1(x)+...+k_ny_n(x)=0 $$

 

일 때, 모든 k 값이 0일 경우를 일차독립이라고 부른다. 이는 방정식이 k가 0이 아닌 하나의 다른 값을 갖는다고 하면, 이를 일차독립이라고 한다. 

 

이제, 초기값 문제에 대해 살펴보자. 

 

$$ y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1, ... ,y^{(n-1)}(x_0)=K_{n-1} $$

 

로 정의할 수 있다. 이때 K 값들은 모두 상수이다. 그에 따라 식의 계수, p_0(x) 등에 대해 열린 구간 I에서 연속이고 x_0가 구간 I 내에 있다면, 초기값 문제는 열린 구간 I에서 유일한 해 y(x)를 얻는다. 

 

이제 해의 독립에 대해 알아보자. 해들의 1차 독립성은 일반해를 얻는데 가장 중요한 역할을 한다. 기본적으로, 해의 독립은 론스키안을 적용할 것이다.

 

$$ \left(\begin{array}{c}y_1 & y_2 & ... & y_n\\ y'_1 & y'_2 & ... & y'_n\\ . & . & ... & . \\y_1^{n-1} & y_2^{n-1} & ... & y^{n-1}_n\end{array}\right) $$

 

에서 W이 0이 아니라는 필요충분조건을 살펴보자. 상미분방정식이 열린 구간 I에서 연속인 계수 p_0(x), p_n-1(x)을 갖게 될 때, 구간 I에서 n개의 해가 구간 I에서 일차종속이 되기 위한 필요충분조건이 W=0이 되기 위함이다. 이때 1차독립을 이루게 된다면 그것을 해의 기저라고 할 수 있게 된다. 

 

만약 상미분방정식이 열린 구간 I에서 연속인 계수를 갖는다면, 모든 해 Y(x)는

 

$$ Y(x)=C_1y_1(x)+...+C_2y_2(x) $$

 

의 형태이다. 이때 y_1, ...,y_n은 해의 기저이다. 

 

이를 풀기 위해, n계 제차 선형상미분방정식

 

$$ y^{(n)}+a_{n-1}y^{n-1}+...+a_1y'+a_0y=0 $$

 

의 특성방정식을 e^λx를 대입해 얻게 된다면

$$ \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0 $$

 

이라는 식을 얻게 된다. 그럴 경우, 만일 n개의 근이 실수이고 서로 다르다면

 

$$ y_1=e^{\lambda_1 x}, ..., y_n=e^{\lambda_n x} $$

 

가 된다. 이들은 모든 x에 대해 1차독립이며, 기저를 형성한다. 다시 말해, 이들이 기저가 되기 위한 조건은 n개의 근이 모두 다르다는 것이다. 이를 Vandermonde 행렬식, 또는 Cauchy 행렬식으로 증명할 수 있다.

 

만일, 복소근이 존재한다면, 계수가 실수이므로 이 근들은 공액쌍으로 나타내야 한다. 즉, 독립인 두 해를 예시로 든다면

$$ y_1=e^{\gamma x} cos\omega x, y_2=e^{\gamma x} sin\omega x $$

 

로 정의할 수 있게 된다. 

 

또한, 실이중근이 나타난다면(λ_1=λ_2이라면) 이때 y_1=y_2이고 이 근에 대해 y_1과 xy_2를 선택할 수 있다. 이때 λ가 m차의 실근이라면, 이에 대응하는 m개의 1차독립인 해들은

$$ e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, x^2e^{\lambda x}, ..., x^{m-1}e^{\lambda x} $$

 

로 정리할 수 있다. 이 경우 이외에도, 단순 복소근에 대해 설명할 수 있는데, 이와 같이 복소이중근의 경우

 

$$ e^{\gamma x}cos\omega x, e^{\gamma x}sin\omega x, xe^{\gamma x}cos\omega x, xe^{\gamma x}sin\omega x $$

 

로 나타낼 수 있다. 

 

다음은, 지난 번에 살펴본 것과 동일하게 미정계수법을 살펴보자. 이때 지난 번의 기본 규칙과 더불어, 변형규칙으로 y_p로 선택된 항이 제차 상미분방정식의 해라면, 이 항에 x^k를 곱한다. 여기서 k는 이항과 x^k의 곱이 해가 아닌 가장 작은 양수이다. 또한, 합 규칙을 따라야 한다.

 

이러한 번거로운 방법 외에도, 다시 매개변수변환법을 사용할 수도 있다. 공식은

 

$$ y_p(x)=\sum_{k=1}^{n} y_k(x) \int \frac{W_k(x)}{W(x)} r(x) dx $$

 

$$ =y_1(x)\int \frac{W_1(x)}{W(x)}r(x) dx+...+y_n(x)\int \frac{W_n(x)}{W(x)} r(x) dx $$

 

로 정리할 수 있다.