EM 1. 상미분방정식

공업수학 첫 번째. 이 장에서는 변수 분리와 베르누이 방정식 등 기본적인 미분 방정식의 해법이 나와 있다.

 

1계 상미분방정식에 대해 알아보자. 일단, 미지함수의 n계 도함수를 포함하는 함수를 상미분방정식이라고 한다. 이때, 미1계의 도함수만 갖고 있을 경우, 이를 1계 상미분방정식이라고 한다. 예를 들어

$$ f(x, y)=y' $$

 

와 같은 형식은 양형태라고 부른다. 이것은 음형태인

$$ F(x, y, y')=0 $$

 

과 대조되는 부분이다. 다음은 초기값 문제에 대해 알아보자.

 

대부분 경우에는 문제의 유일한 특수해는 주어진 x_0 값과 y_0 값을 갖는다. 이를 초기조건이라고 한다. 이는 y(x_0)=y_0에 의해 일반해로 얻어진다. 이는 초기 조건은 임의의 상수 c를 결정하는데 사용됨을 의미한다. 이는 기하학적으로 해조건이 xy 평면은 반드시 (x_0, y_0) 점을 지나가야 하는 것을 의미한다. 이와 같은 초기조건을 갖는 상미분방정식을 초기값 문제라고 한다. 예를 들어

 

$$ y'=f(x, y), y(x_0)=y_0 $$

 

인 경우를 초기값 문제라고 한다. 

 

다음은 분리 간으한 상미분방정식에 대해 알아보자. 대부분의 상미분방정식은 과정을 거쳐

$$ g(y)y'=f(x) $$

 

의 형태로 단순화 될 수있다. 이를 x에 대해 양변을 미분하면

$$ \int g(y)y' dx=\int f(x) dx+ C $$

 

가 되며 이때 좌변에서 적분변수를 y로 전환할 수 있다. 미적분에서 ydx=dy이므로

 

$$ \int g(y)dy=\int f(x) dx+C $$

 

로 변경할 수 있다. 이와 같은 방식을 변수분리법이라고 하며, 이와 같은 상미분방정식을 분리가능 방정식이라고 한다. 

 

다음은 완전상미분방정식에 대해 알아보자. 미적분에서 u(x, y)가 연속인 편도함수를 가지면 그것의 전미분은 다음과 같다.

$$ du=\frac{\partial u}{\partial x} dx+\frac{\partial u}{\partial y} dy $$

 

그러므로, 이때 만일 u(x, y)가 상수라면 du는 0이다. 이를 통해 1계 상미분방정식에 대해 

 

$$ M(x, y)dx+N(x, y)dy=0 $$

 

이라는 형식으로 표현이 가능하다. 이때 이 미분형식이 만일 어떤 u(x, y) 함수의 미분꼴

 

$$ du=\frac{\partial u}{\partial x} dx+\frac{\partial u}{\partial y} dy $$

 

이라면 이것을 완전상미분방정식이라고 부른다. 이때 du는 0이므로 적분하면 일반해를 u(x, y)=c의 형태로 얻을 수 있다.

 

만일, 적당한 함수 u(x, y)가 존재하여

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=M, \frac{\partial u}{\partial y}=N $$

 

임을 확인하면 이것을 완전미분방정식임을 알 수 있다. xy 평면에서 자체적으로 교차하는 점이 없는 닫힌 곡선을 경계로 갖는 닫힌 영역에서 M과 N이 연속이고 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하면

$$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} $$

 

$$ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} $$

 

가 되고, 연속성의 가정에 의해 두 개의 2계 편도함수는 같다. 다시 정리하면

$$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}  $$

 

로 정리할 수 있다. 이때

 

$$ u=\int Mdx +k(y) $$

 

이므로 이때 y를 적분에서 상수로 간주해 y에 대한 편미분을 취해야 한다. 그러므로 

 

$$ u=\int N dy+l(x) $$

 

를 먼저 얻어 계산하는 방법도 존재한다. 

 

만일, 해당 방정식이 완전미분방정식이 아닐 때 각 함수에 대해 F를 곱해준다고 생각하자. 이때 F가 해당 방정식을 완전미분방정식으로 이끈다면 이를 적분인자라고 부른다. 이 적분인자를 구하는 방법은 다음과 같다. 

 

$$ FMdx+FNdy=0 $$

 

에 대해 

 

$$ \frac{\partial}{\partial y} (FM)=\frac{\partial}{\partial FN} $$

 

이고 곱의 미분법을 사용하여, 편도함수를 아래 첨자로 나타내면

$$ F_yM+FM_y=F_xN+FN_x $$

 

이 된다. 이에 대해 황금규칙을 따르는 것으로 더욱 유용하게 문제를 풀 수 있다. 다시 말해, 

 

$$ F_x=F'=dF/dx $$

 

이므로 

 

$$ FM_y=F'N+FN' $$

 

으로 정리할 수 있다. FN으로 양 변을 나누고 정리하면

$$ \frac{1}{F} \frac{dF}{dx} =R, R=\frac{1}{q} (\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} $$

 

이다. 이 식에 대해 우변 R이 단순히 x만의 함수라면, 이는 F=F(x)라는 함수를 갖게 된다. 이때 이를 적분하게 되면

$$ F(x)=exp \int R(x)dx $$

 

가 된다. 

 

다음은 선형상미분방정식에 대해 알아보자. 1계 상미분방정식을 대수적으로 

 

$$ y'+p(x)y=r(x) $$

 

이런 형태로 변형할 수 있다면 이것을 선형이라고 한다. 이것이 불가능할 때 이것을 비선형이라고 한다. 이에 대한 표준형을 푸는 방식은 다음과 같다. 만일 y'+p(x)y=0인 형태, 다시 말해 제차인 경우

 

$$ \frac{dy}{y}=-p(x)dx, ln \mid y \mid=-\int p(x)dx+C $$

 

이므로

$$ y(x)=ce^{-\int p(x)dx} $$

 

가 된다. 반대로, 비제차의 경우 똑같이 적분인자 F를 곱했다고 생각하자.

 

$$ Fy'+Fp(x)y=rF $$

 

가 되고

 

$$ pFy=F'y, so pF=F' $$

 

일 경우, Fy의 도함수 (Fy)'=F'y+Fy'가 된다. 이를 변수분리하면

$$ dF/F=pdx $$

 

가 된다. 이를 적분하고 

 

$$ h=\int pdx $$

 

라고 쓰면

 

$$ ln\mid F \mid=h=\int pdx, so F=e^h $$

 

$$ = e^hy'+h'e^hy=e^hy'+(e^h)'y=(e^hy)'=re^h $$

 

가 된다. 이를 e^h로 나누면

 

$$ y(x)=e^{-h}(\int e^h rdx + C) $$

 

가 된다. 이를 전체 출력=입력 r에 대한 응답+초기 조건에 대한 응답으로 정리할 수 있다. 

 

이것을 기반으로 베르누이 방정식을 유도할 수 있다. 

 

$$ y'+p(x)y=g(x)y^a $$

 

일 경우, a가 0 혹은 1일 때 이는 선형이다. 그 밖의 경우는 비선형인데, 이때

 

$$ u(x)=[y(x)]^{1-a} $$

 

로 생각할 수 있고, 이를 미분하면

 

$$ u'=(1-a)y^{-a}y'=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) $$

 

를 얻을 수 있다. 이때는 y'을 대입한 것이다. 

 

이를 간단히 하면

$$ u'=(1-a)(g-py^{1-a}) $$

 

으로 정리할 수 있고, y^{1-a}=u이므로

 

$$ u'+(1-a)pu=(1-a)g $$

 

로 정리할 수 있다.