2022/07/12

단순 조화 운동과 관련된 장. 식의 유도 과정을 잘 알자.

 

단순조화운동은 간단히 용수철의 운동을 예시로 들 수 있다. 같은 운동이 되풀이 되는 운동을 단순조화운동이라고 한다. 

 

처음으로, 가장 기본적인 단순 조화 운동의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

 

$$ x(t)=x_m cos( \omega t+ \phi) $$

 

이때 φ는 위상상수(=위상각)이며, ω는 각진동수이다. 이때 각진동수에 대한 정의는 다음과 같이 가능해진다.

 

$$ x_m cos(\omega t)=x_m cos\omega (t+T), \omega (t+T)=\omega t+ 2\pi, \omega T=2\pi, \omega=\frac{2\pi}{T} $$

 

이때 단순 조화 운동의 속력은 간단히 위치 함수를 미분함으로써 얻을 수 있다.

 

$$ v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[x_m cos(\omega t+\phi)]=v(t)=-\omega x_msin(\omega t+\phi) $$

 

마찬가지로, 가속도 또한 다음과 같이 주어질 수 있다.

 

$$ a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[-\omega^2 x_mcos(\omega t+ \phi)] $$

 

이때, 뉴턴의 제 2법칙인 가속도 법칙에 이를 대입하면 다음과 같아진다.

 

$$ F=ma=m(-\omega^2 x)=-kx, k=m\omega^2, \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

 

그렇다면, 이에 대한 단순 조화 운동 중, 용수철의 경우의 퍼텐셜 에너지를 구할 수 있게 된다.

 

$$ U(t)=\frac{kx^2}{2}=\frac{kx_m^2cos(\omega t+ \phi)^2}{2} $$

 

그리고 운동에너지는

 

$$ K(t)=\frac{mv^2}{2}=\frac{kx_m^2sin(\omega t+ \phi)}{2} $$

 

그러므로, 이러한 역학에너지를 얻을 수 있다. 

 

$$ E=K+U=\frac{kx_m^2(cos(\omega t+\phi)^2+sin(\omega t+ \phi)^2)}{2}=\frac{kx_m^2}{2} $$

 

그리고, 이러한 운동이 각진동자에 적용될 경우 주기는 다음과 같이 주어진다.

 

$$ \tau=-k\theta, T=2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} $$

 

k는 비틀림 상수, I는 원판의 회전관성이라고 할 수 있어진다.

 

한편, 진자, 혹은 원운동의 경우 다음과 같아진다. 

 

복원 토크 τ는 

 

$$ \tau=-L(F_gsin\theta) $$

 

이므로 이때 모멘트팔의 크기와 더불어 계산하면

 

$$ -L(mgsin\theta)=I\alpha $$

 

즉, 이때 알파는

 

$$ \alpha=-\frac{mgL\theta}{I} $$

 

이다. 또한 각진동수는

 

$$ \omega=\sqrt{\frac{mgL}{I}}, T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}} $$

 

이를 더 간단히 정리하면

 

$$ T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$

 

이다. 이때 L을 h로 생각하면 표현이 가능해질 수 있다. 

 

물론, 모든 진자 운동이 이상적인 상태에서 이루어지는 것은 아니므로, 이를 감쇠 단순조화운동으로 바꾸어서 생각해야 한다.

 

감쇠력은 다음과 같이 나타나진다.

 

$$ F_d==by $$

 

즉, 이때 b는 감쇠 상수이다. 

 

$$ -by-kx=ma $$

 

이므로 이를 미분방정식으로 다음과 같이 표시할 수 있다.

 

$$ m\frac{d^2x}{dt^2}+ b\frac{dx}{dt}+kx=0 $$

 

이 식의 해는 다음과 같다.

 

$$ x(t)=x_me^{\frac{-bt}{2m}}cos(\omega ' t+\phi) $$

 

즉, 이때 주어진 x_m은 진폭, ω'은 감쇠진동자의 각진동수이다.