2022/07/08

중력에 대한 이론을 조금 더 많이 생각한 페이지. 케플러의 법칙이 뉴턴의 중력 법칙과 더불어 어떻게 적용되는지 살펴보도록 하자.

 

중력은 알다시피, 이러한 공식에 의해 "만유인력의 법칙"으로 통용된다.

 

$$ F= \frac{GMm}{r^2} $$

 

이를 벡터장으로 나타낸다면 다음과 같은 변형이 가능해진다. 

 

$$ \vec{f}=\frac{GMm){r^2}{r} $$

 

이러한 공식에 의해, 중력과 중첩 원리는 다음과 같이, 개별 입자의 알짜 합으로 인해 구해질 수 있다.

 

$$ \vec{F_{1, net}}=\sum_{i=2}^{n} \vec{F_{1i}} $$

 

$$ \vec{F_1}= \int{dF} $$

 

그리고, 지면 근처의 중력은 다음과 같은 과정을 통해 얻어질 수 있다. 

 

$$ F= \frac{GMm}{r^2}=ma, a=\frac{GM}{r^2} $$

 

그러나, 이는 지구의 자전을 무시하며, 지구의 질량이 균일하고 원형 모양일 경우에 적용이 가능하며, 이에 대해 r축에 대한 식을 다시 세워야 한다. 이는 이러한 표현이 된다.

 

$$ F_N-mg=m(- \omega^2 R) $$

 

$$ mg=ma_g-m(\omega^2 R) $$

 

이는 측정된 무게=중력의 크기-질량과 구심가속도의 곱으로 생각할 수 있다.

 

다시 말해, 자유낙하 가속도는 중력가속도에서 구심가속도를 뺀 값이다. 물론, 이 차이는 매우 작은 편이기도 하다. 

 

다음은, 지구 내부에서의 중력 퍼텐셜 에너지에 대해 다루는데, 뉴턴의 껍질정리가 입자가 균일한 외부에도 존재할 경우 적용된다는 것을 통해 아무런 중력의 영향이 없다는 것을 가정하면 다음과 같은 내용이 된다. 

 

$$ F=\frac{gmM_{ins}}{r^2} $$

 

이때, 밀도 ρ가 일정하다고 가정했으니, 밀도는 다음과 같다.

 

$$ \rho = \frac{M_{ins}}{\frac{4\pi R^3}{r}} $$

 

즉, M_ins에 대해 

 

$$ M_{ins}=\frac{4\pi r^3 \rho}{3}=\frac{M}{R^3}r^3 $$

 

$$ F=\frac{GmM}{R^3}r $$

 

이때, 힘의 벡터 F와 캡슐의 위치 벡터 r로 표현하게 된다면(모든 상수를 K로 생각하자) 이런 전개가 된다.

 

$$ \vec{F}=-K \vec{r} $$

 

즉, 이때의 중력 퍼텐셜 에너지를 다음과 같이 추정할 수 있다.

$$ U=-\frac{GMm}{r} $$

 

이에 대한 증명은 다음과 같다. 만일. 중력이 R로부터 무한대의 거리까지 일을 한다면 다음과 같은 증명이 된다.

 

$$ W=\int_{R}^{∞} \vec{F(r)} \cdot d\vec{r} $$

 

$$ \vec{F(r)} \cdot d\vec{r}= F(r)drcos\phi $$

 

$$ \vec{F(r)} \cdot \vec{r}= -\frac{GMm}{r^2}dr $$

 

(이때 사이각은 π이다.)

 

$$ W=-GMm \int_{R}^{∞} \frac{1}{r^2}dr=0-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R} $$

 

이로 인해, 지구의 탈출 속력을 계산할 수 있다.

 

$$ K+U=\frac{mv^2}{2}+(-\frac{GMm}{R})=0, v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} $$

 

또한 각각의 케플러 법칙은 이와 같이 서술될 수 있다.

 

$$ \frac{dA}{dt}=\frac{r^2}{2} \frac{d\theta}{dt}= \frac{r^2 \omega}{2} $$

 

$$ T^2=\frac{4 \pi^2}{GM}r^3 $$

 

또한, 위성의 궤도에서의 역학적 에너지는 위에서 밝힌 운동에너지와 위치에너지의 합이다.

 

$$ E=-\frac{GMm}{2a} $$