2022/07/14

파동과 관련한 장. 특히 진폭이 어떤 식으로 표현되는지 알아야 되는 것에 집중해보자.

 

일단, 단순한 끈에서는 다음과 같이 파동을 표현할 수 있다. 이때 y는 변위이다. 

 

$$ y=h(x, t), h(x, t)=y_msin(kx-\omega t) $$

 

더불어,파장의 경우 λ만큼 이동하였을 때, 혹은 2π만큼 주기적으로 같은 값을 가져야 하므로, 이와 같이 관계식을 얻는다.

 

$$ k\lambda=2\pi, k=\frac{2\pi}{\lambda} $$

 

또 줄을 관찰하게 될 경우, x=0일 경우

 

$$ y(0, t)=y_msin(-\omega t)=-y_msin(\omega t) $$

 

로 표현되며, 이는 진동의 주기의 정의, 다시 말해 한 번 진동을 완벽히 하는 동안 걸린 시간이 다음과 같이 주어진다.

 

$$ -y_msin \omega t=-y_msin \omega (t_1+T), \omega T=2\pi, \omega=\frac{2\pi}{T} $$

 

또한, 진동수는 주기의 역수이므로

 

$$ f=\frac{\omega}{2\pi} $$

 

로 표현이 가능하다. 이때 파동 방정식의 일반화는 다음과 같다.

 

$$ y=y_msin(kx-\omega t+\phi) $$

 

이제, 이 파동의 속력을 구해보자. dt 동안 dx를 이동하는 파동에 대해 

 

$$ kx-\omega t=constant $$

 

라는 가정을 할 수 있다. 그러므로 이것의 미분은

 

$$ k\frac{dx}{dt}-\omega =0 $$

 

이므로, 

 

$$ \frac{dx}{dt}=v=\frac{\omega}{t} $$

 

이다. 이때 위에서 먼저 구한 k와 v를 넣게 되면

 

$$ v=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}=\lambda f $$

 

로 표현할 수 있다. 이에 대해 -x축 방향의 파동은

 

$$ y(x, t)=y_msin(kx+\omega t) $$

 

로 표현할 수 있다.

 

일반적인 줄의 경우, 이와 같이 정리되는 반면, 만일 평평한 줄이 존재할 경우 다음과 같이 풀이가 진행되어야 할 것이다.

 

먼저, 차원 분석을 통해 길이를 시간으로 나눈 값, 속력을 구하기 위해 질량과 탄성을 구할 것이다. 이때 선밀도라는 개념을 만들자. 선밀도는 질량을 길이로 나눈 값이다. 

 

$$ \mu=\frac{m}{l} $$

 

그렇다면 어느 힘에 의해 평평한 줄이 존재할 것이고, 줄의 장력 τ는 두 힘의 크기와 같다. 그러므로, 이때 F=ma에 대입해 다음과 같은 공식을 만들 수 있다. 

 

$$ v=C\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} $$

 

이때, 이 C는 1이며, 이는 뉴턴의 2법칙에서 유도가 가능하다.

 

사인 모양 대신 반지름이 R인 원호의 펄스를 생각하면 다음과 같은 복원력을 만들 수 있다.

 

$$ F=2(\tau sin\theta)\approx \tau(2\theta)=\tau\frac{dl}{R} $$ 

 

$$ dm=\mu dl $$

 

이고

 

$$ a=\frac{v^2}{R} $$

 

뉴턴의 제 2법칙인 

 

$$ F=ma $$

 

를 적용하면 다음과 같다.

 

$$ \frac{\tau dl}{R}=(\mu dl)\frac{v^2}{R} $$

 

즉 

 

$$ v=\sqrt{\tau \mu} $$

 

이다. 

 

또한 이때의 에너지 전달률은 다음과 같다.

 

$$ dK=\frac{1}{2} dm u^2 $$

 

이때 u는 진동하는 줄의 가로 속력이다. u의 해를 구하기 위해 x를 상수로 생각하고 t에 대해 편미분하면

 

$$ u=\frac{\partial y}{\partial t}=-\omegay_mcos(kx-\omega t) $$

 

이므로 dm=μdx를 대입하면 

 

$$ dK=\frac{1}{2} (\mu dx)(-\omega {y_m})^2 cos^2(kx-\omega t) $$

 

로 쓸 수 있게 된다. 이때 dx/dt는 파동의 속력 이다.

 

$$ \frac{dK}{dt}=\frac{1}{2} \mu v\omega^2 {y_m}^2cos^2(kx-\omega t) $$

 

이때 평균 전달률은 다음과 같다.

 

$$ (\frac{dK}{dt})_{avg}=\frac{1}{2} \mu v\omega^2y_m^2[cos^2(kx-\omega t)]=\frac{1}{4} \mu v\omega^2y_m^2 $$ 

 

파동방정식에 대해 다루면 다음과 같다. 줄의 오른쪽에 작용하는 힘을 F2, 왼쪽에 작용하는 힘은 F1, 수직 방향을 y, 수평 방향을 x, 장력을 τ라고 하자.

 

우선 뉴턴의 제 2법칙에 따라

 

$$ F_{2y}-F_{1y}=dm a_y $$

 

이다. 아까 본 듯이 질량과 선밀도의 관계에 의해

 

$$ dm=\mu dx $$

 

이고, 이때 가속도는 마찬가지로 서술할 수 있다.

 

$$ a_y=\frac{d^2y}{dt} $$

 

이때의 F2와 F1이 주어지는 함수에서의 오른쪽 끝에서의 기울기를 S2라고 하면

 

$$ \frac{F_{2y}}{F_{2x}}=S_2 $$

 

이고 F2=τ이므로

 

$$ \tau=\sqrt{F_{2x}^2+F_{2y}^2} $$

 

이다. 이때, F2x가 F2y보다 굉장히 크다고 가정할 수 있으므로

 

$$ \tau=F_{2x} $$

 

이다.

 

마찬가지로, 이를 다음에 대해 풀어 

 

$$ F_{2y}=\tau S_2 $$

 

$$ F_{1y}=\tau S_1 $$

 

로 표현할 수 있다.

 

이를 전개하면 다음과 같아진다.

 

$$ \tau S_2-\tau S_1=(\mu dx)\frac{d^2y}{dt^2} $$

 

이고

 

$$ \frac{S_2-S_1}{dx}=\frac{\mu}{\tau} \frac{d^2y}{dt^2} $$

 

이다. 이때 S는 기울기라고 언급했으므로 

 

$$ S=\frac{dy}{dx}, \frac{dS}{dx}=\frac{\mu}{\tau} \frac{d^2y}{dt^2} $$

 

$$ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{\tau} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$

 

이라는 파동방정식을 얻는다. 

 

하나의 파동만 진행하 수 있지만, 주로 2개 이상의 파동이 진행하므로, 이를 간섭이라고 한다. 이 원리는

 

$$ y'(x, t)=y_1(x, t)+y_2(x, t) $$

 

로 주어지게 된다. 

 

이를 조금 더 풀어 쓰면

 

$$ y_msin(kx-\omega t)+y_msin(kx-\omega t+\phi)=[2y_mcos(\frac{\phi}{2})]sin(kx-\omega t+\phi) $$

 

로 정리할 수 있다. 

 

마지막으로, 공명에 대해 다루었다. 이때 공명은 합성진동의 진폭이 최대인 지점을 말한다. 

 

$$ y_1(x, t)+y_2(x, t), y_msin(kx-\omega t)+y_msin(kx+\omega t) $$

 

를 적용하면 아까와 같이 

 

$$ y'(x, t)=[2y_msinkx]cos\omega t $$

 

로 결과가 나온다. 

 

진행하는 사인 모양 파동에서 진폭은 항상 일정하다. 그러나, 정지파의 경우 이는 위치에 따라 달라지고, sinkx=0인 kx에서 진폭이 0이다. 정리한다면 다음과 같다.

 

$$ kx=n\pi $$

 

$$ if k=\frac{2\pi}{\lambda}, x=n\frac{\lambda}{2} $$

 

이것은 정지파에서의 진폭인 마디의 위치이다. 이는 인접한 마디마다 반파장만큼 떨어져 있다는 것을 말한다. 

 

이때 공명은

 

$$ \lambda=\frac{2L}{n} $$

 

으로 주어진다. 

 

$$ f=\frac{v}{\lambda}=n\frac{v}{2L} $$

 

로 정리가 되어진다.