2022/07/06

회전체의 운동, 특히 각운동량과 토크에 대해 집중적으로 다룬 부분이다.

 

지난 번에 살펴본 내용을 떠올려 보자, 이러한 공식을 생각할 수 있을 것이다.

 

$$ v_{com}=\omega R, s=\theta R $$

 

또한 운동에너지는 다음과 같이 주어진다.

 

$$ E_k=\frac{I_{p} \omega^2}{2}, I_{p}=I_{com}+MR^2 \rightarrow E_k=\frac{I_{com} \omega^2}{2}+ \frac{R^2 v_{com}^2}{2} $$

 

이전에 살펴본, 회전 운동의 가속도를 생각해보면 이러한 식도 전개가 가능해진다. 더불어, 이 물체가 만일 경사로에서 굴러가는 반지름이 R인 어느 원통의 각가속도라고 가정해보자. 그러면 이러한 식을 만들 수 있다.

 

$$ a_{com}=\alpha R, F-mgsin\theta = Ma_{com, x} $$

 

이때 마찰력에 의해 다음과 같은 토크가 만들어진다.      

 

$$ Rf_{s}=I_{com} \alpha $$

 

$$ f_s=-I_{com} \frac{a_{com, x}{R^2} $$

 

그러므로 각가속도는

 

$$ a_{com, x}=-\frac{gsin\theta}{1+\frac{I_{com}}{MR^2}} $$

 

더불어, 요요에 대한 에너지, 병진운동에너지와 회전운동에너지는 각각 보존되어 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.

 

$$ a_{com}=-\frac{g}{\frac{I_{com}}{MR_{0}^2}} $$

 

이제, 각운동량에 대해 기술하려고 한다. 각운동향은 선운동량과 그에 대한 길이 벡터를 곱한 값이다. 

 

$$ \overrightarrow{l}= \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}=m(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}) $$

 

$$ l=rmvsin\phi $$

 

이에 대해 뉴턴의 제 2법칙을 적용할 수도 있다.

 

$$ \overrightarrow{r_{net}}=\frac{d\overrightarrow{l}}{dt} $$

 

또한, 강체의 운동과 같은 경우, 이러한 적용이 가능하다. 입자계의 총 각운동량 L은 각 입자의 각운동량의 총 합이다. 고정축일 경우.

 

$$ \overrightarrow{L}=\overrightarrow{l_1}+ \overrightarrow{l_2}+... + \overrightarrow{l_n}= \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{l_i}, L=I \omega $$