2022/07/16

소리와 관련된 두 번째 장. 

 

일반, 평평한 줄에 생기는 가로파동의 속력은 다음과 같이 주어진다.

 

$$ v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} $$

 

이때, τ는 장력, μ는 선밀도이며, 여기서 공기로 따지면 이때 선밀도는 공기의 밀도 ρ와 같은 역할을 할 것이라는 것을 예상할 수 있다. 그러므로, 음파가 전달되는 공기 중 퍼텐셜 에너지가 공기의 부피가 압축되고 팽창되는 것과 관련이 있고, 이러한 특징을 부피탄성률이라고 하고 B로 표기한다.

$$ B=-\frac{d\rho}{dV/V} $$

 

그러므로, 이때의 부피탄성률에 대해 장력을 치환하면

 

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

 

로 표현할 수 있다. 

 

이 식에 대한 엄밀한 유도는 뉴턴의 법칙을 이용해 증명이 가능하다. 가만히 있는 공기의 압력을 p, 펄스 안에서의 압력을 p+dp라고 하자. 이때 속력 v로 펄스를 향해 가는 공기요소의 두께를 dx로 면적을 A로 하자. 직, 펄스로 들어가는 공기 요소의 앞부분은 더 높은 압력영역이므로 펄스 앞면에서는 v+dv로 속력이 느려지고, dv는 음의 값이다. 시간은 이렇게 표현된다.

 

$$ dt=\frac{dx}{v} $$

 

뉴턴의 제 2법칙을 적용하면, dt 동안 공기요소 뒷면에서 오른쪽으로 작용하는 평균 힘은 ρA,이며 그의 앞에서 왼쪽으로 향하는 평균 힘은 (ρ+dρ)A일 것이다. 

 

$$ F=\rho A-(\rho +d\rho)A=-d\rho A $$

 

이때 공기요소의 질량은

 

$$ dm=\rho V=\rho A dx=\rho Avdt $$

 

이다. 가속도는 

 

$$ -d\rho A=(\rho Avdt)\frac{dv}{dt} $$

 

이므로 

 

$$ \rho v^2=-\frac{d\rho}{dv/v} $$

 

이다. 

 

펄스 외부의 부피는 공기가 펄스 안으로 들어가며 dV만큼 압축된다. 

 

$$ \frac{dV}{V}=\frac{AdVdt}{Avdt}=\frac{dv}{v} $$

 

$$ \rho v^2=-\frac{\rho}{\frac{dv}{v}}=-\frac{\rho}{dV/V}=B $$

 

지난 번에 살펴본 것과 같이 진행파는 코사인 함수로

 

$$ s(x, t)=s_mcos(kx-\omega t) $$

 

로 주어진다. 이때 s_m은 변위진폭이다. 이때의 압력은 

 

$$ dp(x,t)=dp_msin(kx-\omega t) $$

 

이다. 즉, dp_m은 압력진폭으로서, 변위진폭과의 관계는

 

$$ dp_m=(v\rho \omega)s_m $$

 

이다. 

 

음파의 간섭은 이전에서 본 듯이 

 

$$ s'=[2s_mcos\frac{\phi}{2}]cos(kx-\omega t+\phi) $$

 

로 주어진다. 이때 진폭의 크기는

 

$$ s'_m=\mid 2s_m cos\frac{\phi}{2} $$

 

이다. 

 

가로파동과 마찬가지로, φ값이 파동의 간섭 형태를 결정한다. 이때 경로차에 따른 비율을 나타내면 다음과 같다.

$$ \frac{\phi}{2\pi}=\frac{dL}{\lambda} $$

 

즉, 다음과 같은 식을 얻는다. 

 

$$ \phi=\frac{dL}{\lambda} 2\pi $$

 

이때 dL/λ의 비율이 정수라면 이때를 완전 보강간섭, 반정수배라면 완전 상쇄간섭이라고 한다.

 

다음으로, 음파의 세기 I는 다음과 같이, 면을 통해 단위 면적으로 에너지가 전달되는 평균 비율이다.

 

$$ I=\frac{P}{A} $$

 

$$ I=\frac{\rho v \omega^2 s_m^2}{2} $$

 

이다. 이때 음원에서 방출된 모든 에너지는 구면을 통과하여야 하므로, 구면의 면적으로 나눈 값으로 생각할 수 있다.

$$ I=\frac{P_s}{4\pi 4^2} $$

 

또한, 데시벨 척도를 구할 수 있다, 이는 로그값으로 

 

$$ \beta=(10dB)log\frac{I}{I_0} $$

 

으로 표현할 수 있다. 

 

이때, 식의 유도는 다음과 같다.

 

공기요소의 두께를 dx, 질량을 dm, 공기요소의 운동에너지를 dK라고 하자.

$$ dK=\frac{dm v_s^2}{2} $$

 

이떄 v_s는 진행하는 공기요소의 속력이다.

 

$$ v_s=\frac{\partial s}{\partial t}=\omega s_msin(kx-\omega t) $$

 

dm=ρA이므로

 

$$ dK=\frac{(\rho Adx)(\omege s_m)^2{2} sin^2(kx-\omega t) $$

 

이다. 

 

$$ \frac{dK}{dt}=\frac{\rho Av \omega^2 s_m^2}{2} [sin^2(kx-\omega t)]_{avg} $$

 

즉, 이는 

 

$$ (\frac{dK}{dt})_{avg}=\frac{\rho Av \omega^2s_m^2}{4} $$

 

가 될 수 있고

 

$$ I=\frac{2(dK/dt)_{avg}}{A}=\frac{\rho v \omega^2 s_m^2}{2} $$

 

로 정리할 수 있다.

 

음원으로부터 나오는 관에서의 공명은 각각의 식으로 표현이 가능하다.

 

양쪽 끝이 열린, 길이가 L인 관의 공명진동수에 대응하는 파장은

 

$$ \lambda=\frac{2L}{n} $$

 

으로 주어진다. 

 

이때 n은 조화차수라고 한다.

 

공명진동수는

 

$$ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{nv}{2L} $$

 

이다. 한 끝이 열린 관의 경우

 

$$ \lambda=\frac{4L}{n} $$

 

이므로

 

$$ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{nv}{4L} $$

 

으로 정리할 수 있다. 

 

만일, 두 음파가 진동수의 차이를 갖고 접근한다면 이때 맥놀이라는 현상을 만든다. 이때 중첩원리에 따라 합성변위는 각각의 변위의 합으로 

 

$$ s=s_1+s_2=s_m(cos\omega_1 t+cos\omega_2 t) $$

 

로 정리된다. 

 

$$ s(t)=[2s_mcos\omega' t]cos\omega t $$

 

로 표기할 수 있고

 

$$ f_{beat}=f_1-f_2 $$

 

로 맥놀이 진동수를 이야기 할 수 있다.

 

그리고, 두 음파가 만일 움직인다고 가정하면 이를 도플러 효과로 설명할 수 있게 된다.

$$ f'=f\frac{v \pm v_d}{v \pm v_s} $$

 

이를 도플러 효과의 일반화로 생각할 수 있다. 

 

음원은 멈추고, 검출기가 움직일 경우 v_s는 0이다.

 

$$ f'=(\frac{(vt+v_Dt)}{\lambda})/t=\frac{v+v_D}{\lambda} $$

 

로 생각할 수 있다. 

 

$$ f'=f\frac{v \pm v_D}{v} $$

 

음원이 움직이고 검출기가 멈춰 있을 경우

$$ f'=f\frac{v}{v \pm v_s} $$

 

로 생각할 수 있다. 

 

또한, 이때 정지한 검출기로 물체가 음속보다 빠르게 움직이면 이때 충격파가 생긴다. 이를 Mach 원뿔이라고 한다.

$$ sin\theta=\frac{vt}{v_st}=\frac{v}{v_s} $$