2022/07/02

본격적인 충돌과 물체의 운동에 대한 논의. 전개되는 식을 잘 유도하는 게 중요할 것이다.

 

이 파트부터는 상당히 많은 논의가 이루어진다. 특히, 1개의 물체의 운동을 주로 기술한 지난 번과 달리, 충돌이라는 운동을 기술함에 있어 흐름을 잘 익혀야 할 것이다. 

 

먼저 물체의 질량중심에 대한 내용이 등장하였다. 이때 두 가지로 분류하여 생각할 수 있는데, 첫 번째는 물체의 중심이 입자 1에 위치하는 경우, 두 번째는 그렇지 않은 경우에 대해 이야기 할 수 있다. 이를 각각 정리하면 다음과 같다.

 

$$ x_{com}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}d $$

$$ x_{com}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{M} $$

 

이 두 번째 식은 다음과 같은 정리가 가능하다.

 

$$ \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_{i}x_{i} $$

 

더불어, 이를 사전에 나온 운동량의 개념과 같이 연관지을 수 있는데, 이를 선운동량이라고 하며, 이는 다음과 같이 주어진다. 선운동량은 고립된 계에서는 보존된다. 

 

$$ \overrightarrow{P}=m\overrightarrow{r}, \overrightarrow{F_{net}}=\frac{d\overrightarrow{P}}{dt} $$

 

다음은 운동에너지와 충돌의 선운동량에 대해 다루었다. 이를 우선, 이렇게 표현이 가능할 것이다. 충돌 전의 총 선운동량=충돌 후의 총 선운동량

 

$$ \overrightarrow{p_{1i}}+\overrightarrow{p_{2i}}=\overrightarrow{p_{1f}}+\overrightarrow{p_{2f}} $$

 

즉, 이는 1차원 완전 비탄성 충돌에 대해 다음과 같은 식이 유도될 수 있고

 

$$ m_{1}v_{1i}=(m_{1}+m_{2})V, V=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1i} $$

 

마찬가지로, 총 선운동량은 충돌 중에 보존이 되므로, 질량중심의 속도를 구할 수 있다. 이는 이렇게 주어질 수 있다.

 

$$ \overrightarrow{v_{com}}=\frac{\overrightarrow{P}}{m_{1}+m_{2}} $$

 

완전 비탄성 충돌에 대해서는 이러한 식을 만들 수 있지만, 비탄성 충돌의 경우는 달라진다. 이는 선운동량과 운동 에너지를 이용해 다음과 같은 식을 구할 수 있다. 이동하는 물체를 간단히 i, 충돌하는 물체를 f라고 서술하자.

 

$$ v_{1f}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{1i} $$

 

$$ v_{2f}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{1i} $$

 

이것을 2차원으로 확장하게 되면 다음과 같은 식을 완성할 수 있다. x축과 y축에 대해 

 

$$ m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}cos\theta_{1}+m_{2}v_{2f}cos\theta_{2} $$

 

$$ 0=-m_{1}v_{1f}sin\theta_{1}+m_{2}v_{2f}sin\theta_{2} $$

 

이 외에도, 물체가 운동하는 동안 질량이 변한다는 것을 가정하여 식을 세울 수 있는데, 대표적인 예시는 로켓일 것이다. 이에 대해 가정하여 식을 세워보게 되면, 선운동량이 항상 보존된다는 것을 생각하여 

 

$$ Mv=-dMU+(M+dM)(v+dv) $$

 

이러한 식을 세울 수 있다. 상대속력을 이용하여 

 

$$ (v+dv)=v_{rel}+U $$

$$ U=v+dv-v_{rel} $$

 

과정을 거치게 된다고 하여 진행해 나아가면.

 

$$ Rv_{rel}=Ma $$

 

가 되게 된다. 

 

이때 로켓의 속력을 구하면

 

$$ dv=-v_{rel}\frac{dM}{M} $$

 

이기에 적분하면

 

$$ \int_{v_{i}}^{v_{f}} dv==v_{rel}\int_{M_{i}}^{M_{f}}\frac{dM}{M} $$

 

즉

 

$$ v_{f}-v_{i}=v_{rel}ln\frac{M_{i}}{M_{f}} $$ 

 

으로 식을 만들어낼 수 있다.