2022/07/04

회전체에 대한 운동. 이는 뉴턴의 운동 법칙을 통한 공식과 겹치는 부분이 많으니 기억하자.

 

일단 그 전에, 라디안법으로 살펴본 각속도를 구하게 되면 다음과 같다.

 

$$ \theta=\frac{s}{r}, \frac{2\pi r}{r}=2\pi rad $$

 

이것을 각으로 교체하게 된다면, 기존의 뉴턴의 운동 방정식과 이렇게 대응이 될 것이다.

 

$$ s, v, a=\theta , \omega , \alpha $$

 

$$ \omega = \frac{\theta}{t}=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\theta}{t} $$

 

이에 대해 동축 방정식은 뉴턴의 운동법칙과 대응되게 다음과 같은 세 가지 방정식으로 나타내질 수 있다.

 

$$ \omega = \omega_{0} +\alpha t $$

$$ \theta - \theta_{0} = \omega_{0} t+\frac{\alpha t^2}{2} $$

$$ \omega^2 - \omega_{0}^2=2\alpha (\theta - \theta_{0}) $$

 

더불어, 이를 위의 라디안 전개와 더불어, 이렇게 적용할 수 있게 된다. 

 

$$ s=\theta r, \frac{ds}{dt}= \frac{d \theta}{dt}r, v=\omega r, T=\frac{2 \pi r}{v}=\frac{2 \pi}{\omega} $$

$$ \frac{dv}{dt}=\frac{d \omega}{dt}r, a_{r}=\alpha r, a_{r}=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r $$

 

이러한 회전 운동 에너지는 다음과 같은 식으로 정리된다.

 

$$ I=\sum m_{i}r_{i}, K=\frac{I\omega^2}{2} $$

 

이때의 회전 모멘텀도 생각해야 하는데, 이는 다음과 같이 주어진다.

 

$$ I= \int r^2 dm, I=I_{com}+Mh^2 $$

 

이러한 운동으로 생기는 힘과 거리의 외적을 토크라고 부르고, 이는 다음과 같이 주어진다.

 

$$ \tau = Fsin\theta r $$

 

위의 뉴턴의 운동 방정식을 기술하며 생긴, 이러한 부분을 뉴턴의 F=ma 공식에 적용할 수 있는데, 이를 이렇게 정리할 수 있다.

 

$$ \tau = I\alpha, F=ma_{t}, \tau = Fr=mar, (mr)^2\alpha $$

 

더욱 중요한 것은, 이러한 회전 운동은 일-에너지 보존 법칙에도 적용이 된다는 것이다.

 

$$ \delta K=K_{f}-K_{i}=\frac{mv_{f}^2}{2}-\frac{mv_{i}^2}{2}=W $$

$$ W=\int_{x_{i}}^{x_{f}} Fdx, P=\frac{dW}{dt}, dK=K_{f}-K_{i}= \frac{I \omega_{f}^2}{2}-\frac{I \omega_{i}^2}{2}=W $$

$$ W= \int_{ \theta_{i}}^{ \theta_{f}} \tau d\theta, W=x(\theta_{f} - \theta_{i}), p= \tau \omega $$