09. 행렬의 거듭제곱과 선형 변환

Topic: 행렬의 거듭제곱과 선형 변환

이제부터 정말 중요한 문제가 나오면서, 선형대수학이 왜 필요한지 보여줄 수 있는 영역을 언급할 것이다.

우선, 행렬의 거듭제곱부터 이야기 하겠다. 당연하지만 행렬 A라는 것에 대해 n승을 할 경우 그것이 기하급수적으로 숫자가 커졌을 때 당연히 기본적인 연산을 통한 추론은 불가능 할 것이다. 이것을 간단하게 분해하기 위한 방법이 지난 주제에서 본 대각화에 의존하게 될 것이다. 우선, 어느 정방 행렬이 존재할 때, 특히 그것이 2차 정방행렬일 때, 그것의 대각 행렬에 대한 거듭제곱은 상당히 쉬워진다. 물론, 이것을 확장하여 본격적인 대각화를 취하게 된다면, 지난 번 보았던 행렬의 닮음의 정의에 의하여 A=PDP^-1로 정의될 수 있을 것이다. 이는 앞에서 배운 고유값 문제와도 연결되는 영역이다. 다시 말해, 이를 거듭제곱하게 된다면 n의 제곱이 된 대각 행렬의 값만 구하면 된다.

물론, 이를 사용하지 않고 캐일리-해밀턴 정리를 이용하는 방법도 존재하나, 이는 가역적이지 않은 행렬, 다시 말해 대각 합이 0이거나 행렬식의 값이 0일 경우 사용하는 방법이다.

다음은 선형 변환에 대한 내용이다. 선형대수학이라는 이름에 걸맞게, 선형 변환은 가장 중요한 영역이라고 할 수 있다. 이때 가장 중요한 두가지 원리는 산술적인 방법으로 선형 변환의 계산이 가능하다는 것이다.

마찬가지로, 어느 선형 변환에 있어, 차수의 변화가 생길 경우, 그것의 차수에 맞는 기저는 어느 선형 변환의 일차 결합으로 나타내어질 수 있게 된다.