2022/07/29

전기 다발과 도체의 모양에 따른 전기장의 형성을 다루는 장이다.

 

우선 전하분포를 구하기 위해 전하요소 dq로 나누어 전기장 dE를 구하고 난 후 벡터를 성분으로 나누는 과정을 이전에 거쳤지만, 이번에는 Gauss 법칙을 통해 Gauss 표면을 생각한다. 이는 전하 Q인 입자를 생각하여, 구 위의 점에서 전기장 벡터는 적당한 크기를 갖고 있고 입자로부터 지름 방향으로 멀어지는 것으로 생각한다. 전기장선도 바깥 방향이고 적당한 밀도를 가지고 있다. 이떄 전기장 벡터와 전기장선은 표면을 뚫고 지나간다고 생각한다. 이제, 그 표면을 뚫고 나가는 정도를 정량적으로 전기다발이라고 부르자. 

 

균일한 전기장 E에 있는 면적 A부터 시작하자. dA인 면적의 작은 정사각형 조각을 지나가는 전기다발 dΦ를

 

$$ d\phi =(Ecos\theta)dA $$

 

로 표현할 수 있다. 이를 E의 뚫고 지나가는 성분으로만 쓰면

 

$$ d\phi=\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} $$

 

로 생각할 수 있다. 스칼라곱은 자동적으로 평행한 dA에 E 성분을 주고 이것이 조각을 지나간다. 

 

즉, 전체 다발은

 

$$ \phi=\sum{\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow{A}} $$

 

가 된다. 이에 대해 면적이 dA인조각요소로 만들어 합을 적분으로 변환시키면

 

$$ \phi= \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} $$

 

가 된다. 이 공식은 폐곡면에서도 동일하게 적용이 된다. 이는 멀리 떨어지는 방향의 전기력선을 생각하는 것이다. 

 

가우스의 법칙은 폐곡면을 통과하는 전기장의 알짜 다발 Φ과 Gauss면으로 둘려 쌓인 알짜 전하 q 사이의 관계를 나타내는 식으로

$$ \epsilon_0 \phi=q_{enc} $$

 

로 생각할 수 있고

 

$$ \epsilon_0 \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A}=q_{enc} $$

 

로 생각할 수 있다. 이는 알짜 전하 q_enc가 Gauss 면으로 둘러싸인 모든 양전하와 음전하의 대수적 합을 의미하며, 실수 내 범위로 값을 갖게 된다. 양수일 경우 바깥 방향, 음수일 경우 안쪽 방향으로 향하게 된다. 이때 Gauss 내면에 위치한 전하들의 정확한 형태나 위치는 Gauss 법칙에 관여하지 않는다. 그러나, E는 외/내부의 모든 전하와 관계가 있으므로 외부의 전기장이 Gauss면을 통과하는 알짜 다발에 기여하지 못한다는 것을 생각해야 한다. 

 

표면 위 조각요소를 선택하고 조각에 수직이며 바깥 방향으로 향하는 면적 벡터 dA를 구하면 대칭성으로 조각에서 전기장 D는 항상 바깥으로 향하으모 각도는 0이다. 즉, 다시 말해서

 

$$ \epsilon_0 \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A}=\epsilon_0 \oint E dA=q_{enc} $$

 

가 되고 여기서 q_{enc}는 q와 같다. 즉

 

$$ \epsilon_0 E \oint dA=q $$

 

$$ \epsilon_0 E(4\pi r^2)=q $$

 

$$ E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} $$

 

의 쿨롱 법칙을 유도할 수 있다.

 

이제 대전되었으며 고립된 도체에 대해 알아보자. 일단 Gauss 면은 도체 실제 표면 바로 안쪽에 존재하며, 도체 내부에서 전기장은 0이어야 한다. 이는 정전기적 평형상태에 놓인 것을 의미하는 내용이다. Gauss 면에 둘러싸인 전하 q_{enc}는 면적이 A인 도체의 표면 위에 있다. 만약 σ가 단위면적당 전하라면 q_{enc}는 σA와 같다. 즉 다시 정리하면

 

$$ \epsilon_0 EA=\sigma A $$

 

$$ E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} $$

 

이다.  

 

이것을 이어 원통대칭에서의 Gauss 법칙을 적용하면 대칭성으로 인해 각 끝면을 지나는 다발은 0이다. 원통의 곡면을 지나는 다발을 구하려면 우선 표면 위의 임의의 조각요소에 대해 면적벡터 dA는 지름방향으로 바깥쪽을 향해 조각을 통과한다. 즉, Gauss 법칙에 나타난 스칼라곱은 간단히 EdAcos0=EdA임을 의미한다. 즉 원통의 면적을 고려해보면

$$ \phi=EA cos\theta=E(2\pi rh)cos0=E(2\pi rh) $$

 

$$ \epsilon_0 E(2\pi rh)=\lambda h $$

$$ E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} $$

 

로 선전하를 대입해 생각해볼 수 있다. 

 

이에 대해 면대칭도 생각할 수 있다. 면대칭의 경우 얇은 판을 생각했을 때 수직으로 전기장이 뚫게 되는 것을 생각해보아 E.dA는 단순히 EdA가 되어

 

$$ \epsilon_0 \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A}=q_{enc} $$

$$ \epsilon_0 (EA+EA)=q_{enc} $$

$$ E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0} $$

 

이 된다. 만일 두 도체판을 두고 그 가운데의 전기장을 구하면

$$ E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} $$

 

이 된다. 

 

마지막으로 구대칭에 대해 생각해볼 수 있다. 이에 대해 우선 

 

$$ E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} $$

 

를 생각해보자. 

 

이때는 Gauss 법칙에 의해 

 

$$ E=0 $$

이라는 것을 알 수 있다. 

 

만일, 반지름이 R로 둘러싸인 전체 전하 q가 균일하다면, 반지름 r인 공의 내부 전하/공의 부피=전체 전하량/전체 부피로 생각할 수 있다. 

 

$$ \frac{q'}{4\pi r^3/3} = \frac{q}{4\pi R^3/3} $$

 

$$ q'=q\frac{r^3}{R^3} $$

 

이다. 즉 다시 정리하게 되면

 

$$ E=(\frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^3})r $$

 

이 된다.