2022/07/20

이상기체와 관련된 내용이다. 처음에는 아보가르도 수와 관련된 내용이 나온다.

 

$$ N_{A}=6.02*10^{23} mol^{-1} $$

 

이며, 이는 12C를 기준으로, 12g의 12C에 있는 탄소 원자의 수를 의미한다. 

 

다음은 이상(ideal) 기체의 법칙이 나온다. 이는 다음과 같다.

 

$$ PV=nRT $$

 

로, P는 압력, V는 부피, 그 외는 각각의 상수를 의미한다. 이때의 일은

 

$$ W=PdV $$

 

로 표현이 가능하다. 

 

이제, 기체 분자의 운동에너지를 구하려고 한다. 만일 한 변의 길이가 L인 정육면체 상자가 있다고 하자. 이때 물체가 한 점에서 원래 위치로 오는 동안의 운동량은 스칼라의 입장에서는 불변이므로 

 

$$ P_x=-mv_x-(mv_x)=-2mv_x $$

 

이다. 이때 선형 충격량은

 

$$ \frac{dP_x}{dt} $$

 

가 되게 된다.

 

즉, 이 식은

 

$$ \frac{2mv_x}{\frac{2L}{v_x}=\frac{mv^2_x}{L} $$

 

이고

 

이것의 압력은

 

$$ \frac{F_x}{L^2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{mv_x^2}{L}}{L^2}=\frac{m}{L^3} (v_x^2+v_y^2+...) $$

 

이고

 

그에 따른 분자 개수를 생각하게 되면

 

$$ P=\frac{nmN_A}{L^3} (v_x^2)_{avg}=\frac{nmv_{avg}{3V} $$

 

$$ v=\sqrt{\frac{3RT}{m}} $$

 

이 된다. 

 

이를 운동에너지 공식에 넣으면

$$ E_k=\frac{mv_{avg}^2}{2}->\frac{m}{2} \frac{3RT}{m}=E_k=\frac{3kT}{2} $$

 

이다.

 

맥스웰의 분자 운동 분배 법칙에 의해 

 

$$ P(v)=4\pi (\frac{M}{2\pi RT})^3/2 ve^{\frac{-mv^2}{2RT}} $$

 

$$ v_{avg}=\sqrt{\frac{8RT}{nm}} $$

$$ v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{m}} $$

 

$$ v_p=\sqrt{\frac{2RT}{m}} $$

 

이다. 

 

또한 이상 기체의 열용량은

 

$$ E_{int}=\frac{3nRT}{2} $$

 

이다.