2022/07/27

전기장과 그 전하의 공식을 설명한 장이다.

 

처음으로는 쿨롱의 법칙에 대해 설명한다. 간단히 전자기력을 매개할 수 있는 입자인 전하의 상호작용을 나타낸 공식으로 전하가 q_1, q_2, 멀어지는 방향의 단위벡터를 적용해 적게 되면

 

$$ \overrightarrow{F}=k\frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} $$

 

로 쓸 수 있다. 이때 r은 거리, k는 정전기 상수(=9*10^9N/(m^2/C^2)다. 

 

이는 중력의 공식인

 

$$ \overrightarrow{F}=G\frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r} $$

 

과 유사성을 갖고 있다. 

 

이 전하들이 단위 면적을 통과하게 된다면 그것을 전류라고 하며, 전류의 공식은

 

$$ i=\frac{dq}{di} $$

 

로 표현된다. 

 

또한, 전기력에서의 쿨롱 법칙은

 

$$ F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mid q_1 \mid \mid q_2 \mid}{r^2} $$

 

으로 표현할 수 있다. 이때 ε은 유전율 상수라고 불린다. 

 

모든 전하들은 양자화 되어 있다고 생각할 수 있으며, 모든 전하는

 

$$ q=ne $$

 

라는 공식을 따른다. n은 정수를 의미하게 된다. 

 

또한, 모든 방사성 붕괴 등에서 전하량을 보존되며, 예시로

$$ 238U->234Th+4He $$

 

로 표현하여, 전하량이 보존됨을 알 수 있다. 

 

더불어, 전기력이 미치는 공간을 전기장이라고 하며, 이는 벡터장이다. 이를 시험전하 q_0에 대해

 

$$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0} $$

 

으로 표현할 수 있다. 이때의 전기장에서 발생한 전기장선은 균일하게 퍼져있으며, 서로 밀어내는 특성을 지니고 있다. 

 

이때 점전하가 만드는 전기장을 전하 q_0인 시험 전하에 의해

 

$$ \overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{r^2} \hat{r} $$

 

로 생각할 수 있으므로 이는

 

$$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r} $$

 

으로 정리할 수 있다. 대전된 입자의 경우 마찬가지로 

 

$$ \overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mid q \mid}{r^2} \hat{r} $$

 

로 표현할 수 있다. 

 

다음으로, 전하의 크기는 q로 같지만, 반대의 부호를 갖는 것을 전기쌍극자라고 한다. 이는 거리가 d만큼 떨어져 있고, 쌍극자축 위에 놓여 있다. 이때 이 중점으로부터 z만큼 떨어진 임의의 점 P에서의 전기장이 가진 크기와 방향을 고려한다. 

 

입자는 각각의 전기장을 형성하는데, 이를 식으로 알짜 전기장을 구하면

 

$$ E=E_{(+)}-E_{(-)}=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q}{r(+)^2}-\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q}{r(-)^2} $$

 

$$ \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}(z-d/2)^2}-\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}(z+d/2)^2} $$

 

$$ E=\frac{q}{4\pi \epsilon_{0} z^2} (\frac{1}{(1-d/z)^2}-\frac{1}{(1+d/z)^2}) $$

 

으로 쓸 수 있고 분모를 통분하자

 

$$\frac{q}{4\pi \epsilon_{0} z^2} \frac{2d/z}{(1-d/2z)^2)^2}=\frac{q}{2\pi \epsilon_0 z^3} \frac{d/z}{(1-d/2z)^2)^2} $$

 

이고

 

$$ E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \frac{qd}{z^3} $$

 

qd를 전기 쌍극자모멘트 p로 치환해 보자

 

$$ E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \frac{p}{z^3} $$

 

이것이 전기쌍극자의 공식이 된다. 

 

또한 선전하가 만드는 전기장에 대해 더 생각할 수도 있다. 

 

반지름이 R인 고리가 존재하고, 중심점으로부터 z만큼 떨어진 점 P에 대해 생각해보자. 각 전하요소 dq에 대해 호의 길이를 ds로 두자. 

 

$$ dq=\lambda ds $$

 

λ는 선전하밀도이다. 그러므로 

 

$$ dE=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda ds}{r^2} $$

 

이고, 이때 새로 도입되는 기호 r은 점 P의 z축 위치를 고려한 거리이다.

 

$$ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda ds}{(z^2+R^2)} $$

 

으로 고쳐 쓸 수 있다. 이때, 3차원적인 측면에서, θ만큼 z축이 이루어졌다고 했을 때

 

$$ cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{z}{z^2+R^2)^1/2} $$

 

라고 할 수 있다. 이는 

 

$$ dEcos\theta =\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{z\lambda}{(z^2+R^2)^3/2} $$

 

로 만들 수 있다. 이를 적분하면 다음과 같다.

 

$$ E=\int dEcos\theta=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{z\lambda}{(z^2+R^2)^3/2} \int_{0}^{2\pi R} ds $$

 

$$ E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qz}{(z^2+R^2)^3/2} $$

 

이것이 대전된 고리의 전기장 공식을 설명할 수 있는 과정이 된다. 

 

다음은 이것을 응용한 대전된 원판의 전기장이다. r=0인 원판의 중심으로부터 r=R인 가장자리까지 적분을 하여 합을 구해야 한다. 즉, 이때 dq를 dr로 치환하고, 고리는 매우 얇으므로 두께는 dr로 생각한다. 그러면 표면적 dA는 2πr과 두께 dr의 곱이다. 이때 표면전하밀도 σ를 이용하면 다음과 같다. 

 

$$ dq=\sigma dA=\sigma(2\pi r dr) $$

 

$$ E=\int dE=\frac{\sigma z}{4\epsilon_0} \int_{0}^{R} (z^2+r^2)^{-3/2} 2r dr $$

 

$$ E=\frac{\sigma}{2\epsilon} (1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}) $$

 

이다. 이러한 상황 속, 모든 전기장 안의 점전하들이 받는 힘은

 

$$ \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E} $$

 

이다. 그리고, 전기장 안의 쌍극자는

 

$$ \overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{E} $$

 

로 정리할 수 있다. 전기쌍극자의 퍼텐셜에너지는 각도가 90도일 때 퍼텐셜에너지가 0이라는 가정을 하여 

 

$$ U=-W=-\int_{\pi /2}^{\theta} \tau d\theta=\int_{\pi /2}^{\theta} pE sin\theta d\theta $$

 

이다. 

 

$$ U=-pEcos\theta $$

 

이고 

 

$$ U=-\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} $$

 

로 생각할 수 있게 되어진다.