2022/08/01

전기퍼텐셜과 관련한 장이다. 전기 퍼텐셜은 간단히 전기퍼텐셜 에너지로 정의할 수 있다. 중력 퍼텐셜 에너지가 U=-W인 것처럼 새로운 보존력인 저기력에 대해 대전 막대에 놓은 점 P의 양의 시험전하 q0와 관련된 퍼텐셜에너지를 구해보자. 이때 W는 전기력이 한 일로, 시험전하가 무한히 멀리서 온 것으로 표현하기 위해 W_infty라고 표현하자. 이는 막대의 전하에 의해 퍼텐셜에너지의 부호가 결정된다는 것이다. 

 

$$ V=-\frac{W_{\infty}}{q_0}=\frac{U}{q_0} $$

 

이다. 즉 전기 퍼텐셜은 양의 시험전하를 무한대에서 가져왔을 때 단휘전하단 전기퍼텐셜에너지라는 말이다. 이 과정을 반복하면, 전기장 안에 있는 모든 점에서 전기퍼텐셜을 만들 수 있다. 즉, 정리하면

$$ U=qV $$

 

라는 식으로 관계를 설명할 수 있다. 이때의 퍼텐셜의 단위는 V를 사용한다.

 

$$ 1N/C=(1\frac{N}{C})(\frac{1V}{1J/C})(\frac{1J}{1Nm})=1V/m $$

 

으로 정리할 수 있다. 이때 전기퍼텐셜의 변화는 간단히

 

$$ \triangle V=V_f-V_i $$

 

로 생각할 수 있다.

 

$$ \triangle U=q \triangle V=q(V_f-V_i) $$

가 된다. 이때 전기장이 한 일은 

 

$$ W=-U $$

라고 했으므로

 

$$ W=-\triangle U=-q \triangle V=-q(V_f-V_i) $$

 

로 표현할 수 있다. 이때 역학적 에너지 보존에 따라

 

$$ U_i+K_i=U_f+K_f $$

 

이고 

 

$$ \triangle K=-\triangle U $$

 

로 정리할 수 있는데, 이를

 

$$ \triangle K=-q \triangle V=-q(V_f-V_i) $$

 

가 된다. 이때 작용력이 한 일도 생각해보자. 전기력 이외의 어떤 힘이 입자에 작용하면 이 추가적인 힘을 작용력, 혹은 외부력이라고 한다. 이는 외부적 요인에 의한 것이다. 즉 초기 에너지+작용력이 한 일=최종 에너지가 될 것이다.

 

$$ U_i+K_i+W_{app}=U_f+K_f $$

 

이므로 

 

$$ \triangle K=-\triangle U+W_{app}=-q\triangle V+W_{app} $$

이 된다. 작용력이 한 일은 양수, 음수, 0이 될 수 있으므로 계의 에너지도 증가, 감소, 일정하게 남아 있을 수 있다. 이때 굉장히 작은 에너지를 전자볼트로 표현하는데 1 eV로 쓸 수 있다. 

 

$$ 1 eV=1.6*10^{-19} J $$

 

이다. 

 

전기퍼텐셜이 같은 공간의 모든 점은 등퍼텐셜면을 형성하며, 이때 전하가 그 위의 i와 f점 사이에서 움직인다고 하자. 이때 전기장이 한 알짜 일은 0이다. 이는 등전위면이기 때문에 V_i=V_f이므로 0이다. 즉, 이때의 퍼텐셜 차이는 두 점을 연결하는 임의의 경로 위의 모든 점에서 전기장 벡터 E를 알면 계산할 수 있다. 어떤 입자가 미소변위 ds를 이동하는 동안 힘 F가 입자에 작용한 일 dW는 다음과 같은 스칼라 곱으로 나타내진다.

$$ dW=\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

이떄 F=q_0E이므로

 

$$ dW=q_0\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

기 되고, 이때 일 W을 구하기 위해 모든 미소변위에 대해 전하에 한 일을 적분하면

 

$$ W=q_0 \int_{i}^{f} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

가 된다. 이는

 

$$ V_f-V_i=-\int_{i}^{f} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

로 나타낼 수 있다. 이는 i부터 f까지 선적분 값이다. 즉 다시 정리하면

 

$$ V=-\int_{i}^{f} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

가 된다. 이를 통해 균일한 전기장에서는 

 

$$ \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s}=Edscos0=E ds $$

 

이므로

 

$$ \triangle{V}=-E \triangle{x} $$

 

이 된다. 또한, 이떄 점전하에 의한 퍼텐셜을 고려해보자. 우선, 전기장의 방향은 고정된 입자로부터 바깥으로 지름 방향이다. 이때 미소변위 ds의 방향도 전기장의 방향과 일치한다. 각도는 0도이므로, 적분극한 R과 무한대를 대입하면 다음과 같다.

 

$$ V_f-V_i==\int_{R}^{\infty} E dr $$

 

이때 V_f는 0, V_i는 V이다. 즉, 다시 정리해보면

$$ E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} $$

 

이 되는데

 

$$ 0-V=-\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \int_{R}^{\infty} \frac{1}{r^2} dr=\frac{q}{4\pi \epsilon} $$

 

$$ =\begin{bmatrix}\frac{1}{r^2} \\\end{bmatrix}^{\infty}_R = -\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{R} $$

 

이다. 이를 V에 대해 풀고 R을 r로 바꾸면 다음과 같다.

$$ V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} $$

 

이때 점전하 무리가 한다는 알짜 전기퍼텐셜은 중첩원리를 이용하여 구할 수 있다. 전하의 개수가 n인 경우에 

 

$$ V=\sum_{i=1}^{n} V_i = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i} $$

 

가 된다. 

 

이제 전기쌍극자가 만드는 퍼텐셜에 대해 고려해보자. 점 P에서의 전기쌍극자에 의한 전기퍼텐셜은 같은 크기의 부호만 다른 전하 2개가 존재한다고 생각할 수 있다. 

 

$$ V=\sum_{i=1}^{2} V_i =V_{(+)}+V_{(-)} $$

 

$$ =\frac{1}{4\pi \epsilon_0}(\frac{q}{r(+)} + \frac{q}{r(-)}) $$

 

$$ =\frac{q}{4\pi \epsilon_0}(\frac{r(-)-r(+)}{r(+)r(-)} $$

 

이다. 이때 쌍극자의 크기는 매우 작다.보통쌍극자로부터 멀리 떨어진 점에 관심을 두게 되는데 이와 같은 어림식으로 유도할 수 있다. 이때 각도는 쌍극자의 축으로부터 측정한 값이다.

$$ r_{(-)}-r_{(+)} \approx dcos\theta $$

 

$$ r_{(-)}r_{(+)} \approx r^2 $$

 

이 값들을 대입하면

 

$$ V=\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{dcos\theta}{r^2} $$

 

이다. 즉 이때 p=qd이니

 

$$ V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{pcos\theta}{r^2} $$

 

이 전기쌍극자가 형성하는 퍼텐셜이 된다. 

 

연속적인 전하분포가 만드는 퍼텐셜 또한 무한대에서의 퍼텐셜을 0, 미소전하를 점전하로 생각하면

$$ dV=\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r} $$

 

이 된다. 이를 적분하면

$$ V=\int dV= \frac{1}{4\pi \epsilon} \int \frac{dq}{r} $$

 

이다. 이 적분은 전하분포 전체에 대해 계산해야 한다. 스칼라이기 때문에 이에 대한 벡터 성분을 고려할 필요가 없다. 만일, 연속적으로 대전된 선과 원판이 존재한다면 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. 선전하밀도 λ의 양전하를 갖고 있는 얇은 부도체의 막대의 길이를 L이라고 하자. 

 

$$ dq=\lambda dx $$

 

이므로 이 전하요소는 r-(x^2+d^2)^1/2 떨어진 지점 P에 전기퍼텐셜 V를 만든다. 

 

$$ dV=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{\lambda dx}{(x^2+d^2)^{1/2}} $$

 

이다. 이때 막대의 전하는 0이고 무한대에서 V=0므로 x=0에서 x=L까지

$$ V=\int dV=\int_{0}^{L} \frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{\lambda dx}{(x^2+d^2)^{1/2}} dx $$

 

$$ =\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0} \int_{0}^{L} \frac{dx}{(x^2+d^2)^{1/2}} $$

 

$$ =\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0} \begin{bmatrix}ln(x+(x^2+d^2)^{1/2}\end{bmatrix}^L_0 $$

 

$$ =\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0} \begin{bmatrix}ln(L+(L^2+d^2)^{1/2}-ln d\end{bmatrix} $$

 

이때 로그 법칙을 적용해보자.

$$ V=\frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0} ln \begin{bmatrix}\frac{L+(L^2+d^2)^{1/2}}{d}\end{bmatrix} $$

 

가 된다. 이때 대전된 원판의 경우, 반지름의 길이가 R', 두께가 dR', 밀도를 σ라고 하자. 그렇다면

 

$$ dq=\sigma(2\pi R')(dR') $$

 

이 된다. 이때 (2πR')(dR')은 원판의 표면적이다. 즉, 이때 원형 고리가 만드는 퍼텐셜은

 

$$ dV=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{\sigma (2\pi R')(dR')}{\sqrt{z^2+R'^2}} $$

 

이므로

$$ V=\int dV=\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{0}^{R} \frac{R' dR'}{\sqrt{z^2+R'^2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon} (\sqrt{z^2+R^2}-z) $$

 

가 된다. 이제 퍼텐셜에서의 전기장을 반대로 구해보자. 

 

똑같이 양의 시험전하 q_0가 한 등퍼텐셜면에서 인접한 등퍼텐셜면으로 미소변위 ds만큼 이동했을 떄, 그 일은 -q_0dV이다. 즉, 이와 같이

 

$$ =q_0dV=q_0E(cos\theta)ds $$

 

이고 

 

$$ Ecos\theta=-\frac{dV}{ds} $$

 

이다. 그러므로 

 

$$ E_s=\frac{\partial V}{\partial s} $$

 

로 정리할 수 있다. E가 균일한 경우에는

 

$$ E=\frac{\triangle{V}}{\triangle{s}} $$

 

으로 표현할 수 있다. 

 

이제, 대전입자계의 전기 퍼텐셜에너지를 구해보자.  

 

먼저 

$$ U_f-U_i=q_1(V_f-V_i) $$

 

이다. 그리고

$$ V=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q_2}{r^2} $$

 

이므로 

 

$$ U=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1q_2}{r} $$

 

로 정리할 수 있다. 이때 입자계의 전체 퍼텐셜에너지는 계의 각각의 입자쌍에 대한 퍼텐셜에너지의 합이다. 

 

또한, 고립된 대전 도체의 퍼텐셜은 

 

$$ V_f-V_i=-\int_{i}^{f} \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} $$

 

위 식과 같이 정리할 수 있다.