2022/06/27

이번 3장과 4장은 기본적으로 알고 있는 벡터의 개념과 그것의 성분을 다루었다.

 

벡터의 합은 간단히 그 방향에서의 합과 같지만, 이를 성분으로 분해하여 표현하면 다음과 같다. 

 

$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} $$

$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+(\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) $$

 

이러한 벡터들의 합이 존재할 때, 이것들의 성분을 분해하여 2차원 공간에서 나타내면 각각 다음과 같이 주어진다.

$$ a_{x}=a\cos\theta, a_{y}=\sin\theta $$

$$ a=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2} $$

$$ \tan\theta=a_{y}/a_{x} $$

 

마찬가지로, 이러한 단위 벡터들은 기호를 통해서도 표현이 가능하다.

 

$$ a=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k $$

 

이 벡터들은 간단한 사칙연산을 통해서도 표현이 가능하며, 마찬가지로 벡터 미적분을 통해 표현이 가능하다.

 

이에 대해, 포물선 운동을 벡터 분해로 표현이 가능한데, 삼각함수의 정의를 이용해 다음과 같은 변위 표현이 가능하다. 

$$ x=x_{0}cos\theta=v_{0}tcos\theta $$

$$ y=y_{0}sin\theta-\frac{gt^2}{2}=v_{0}tsin\theta-\frac{gt^2}{2} $$

 

이는 합치게 되면 다음과 같은 비선형 방정식의 유도가 가능해진다.

 

$$ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2(v_{0}cos\theta)^2} $$

 

이를 이용해, 포물체의 낙하 시간, 최대 높이, 최대 거리를 구할 수 있는데 각각 식은 다음과 같아진다.

 

$$ T=\frac{2v_{0}sin\theta}{g} $$

$$ H=\frac{(v_{0}sin\theta)^2}{2g} $$

$$ R=\frac{v_{0}^2sin2\theta}{g} $$

 

또한, 원운동 역시 주기, 속력, 가속도를 벡터의 합으로 표현할 수 있다.

 

$$ a=\frac{v^2}{r} $$

$$ T=\frac{2\pi r}{v} $$

$$ v=v_{x}i+v_{y}j=(-v_{0}sin\theta)i+(v_{0}cos\theta)j $$

 

마지막으로, 1차원과 2차원의 상대 운동 역시, 그에 맞는 벡터 합을 구할 수 있다.