2023.08.01

 

어떤 형태의 파동이든 가두게 된다면 그것은 양자화된다. 이를 특정한 에너지 상태를 갖는 띄엄띄엄한 상태라고 표현할 수 있으며, 중간 값을 갖는 에너지는 허용되지 않는다. 이를 가둠이라고 한다.

 

전자는 물질파이므로 무한한 퍼텐셜 우물에 갇힌 전자는 특정한 띄엄띄엄한 상태에만 존재할 수 있는데, 길이 L인 1차원의 무한대 퍼텐셜 우물에서 가능한 양자상태에 대한 에너지는

 

$$ E_n=(\frac{h^2}{8mL^2})n^2 $$

 

으로 주어지며, m은 전자의 질량, n은 양자수이다. 이때 영정에너지라고 불리는 가장 낮은 상태의 에너지는 n=0인 상태가 아니라 1일 때 주어지며, 이때 전자가 한 상태에서 다른 상태로 변하면 변화량은 

 

$$ \triangle E=E_{high}-E_{low} $$

 

와 같다. 높은 상태의 에너지에서 낮은 상태의 에너지를 뺀 값과 같아진다. 이것은 광자의 에너지에도 적용된다.

$$ hf=\frac{hc}{\lambda}=\triangle E=E_{high}-E_{low} $$

 

이때 x축을 따라 길이 L인 1차원 무한 퍼텐셜 우물 안에 있는 전자의 파동함수는

 

$$ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(\frac{n\pi}{L}x) $$

 

로 나타나진다. 이때 n은 양자수, sqrt{2/L}은 파동함수의 규격화를 통해 얻는다. 파동함수는 물리적 의미를 갖고 있지 않지만 확률밀도 Ψ^2(x)는 물리적 의미를 갖는데

 

$$ \psi^2(x)dx $$

 

는 x와 x+dx 사이에서 전자를 발견할 확률이다. 이때 전자의 확률 밀도는 전체 x축에 대해 적분하면 전체 확률은 1이 되어야 한다. 

 

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^2_n(x)dx=1 $$

 

유한한 1차원 퍼텐셜 우물 안에 있는 전자에 대한 파동함수는 벽 밖으로도 나간다. 같은 크기의 무한 우물 안의 상태와 비교하면 제한된 상태의 수, 더 긴 드브로이 파장, 더 낮은 에너지를 갖는다.

 

사각형 우리를 만드는 2차원 무한 우물 안에 갇힌 전자의 양자화된 에너지는 다음과 같다.

 

$$ E_{nx, ny}=\frac{h^2}{8m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}) $$

 

여기서 n_x는 우물 너비 L_x에 맞는 전자의 물질파에 대한 양자수이고, n_y는 우물 너비 L_y에 맞는 전자의 물질파에 대한 양자수이다. 2차원 우물 안에 있는 전자의 파동함수는 다음과 같다.

 

$$ \psi_{nx, ny}=\sqrt{2/L_x}sin(\frac{n_x\pi}{L_x}x)\sqrt{2/L_y}sin(\frac{n_y\pi}{L_y}y) $$

 

수소원자의 보어 모형은 원자의 에너지 준위를 성공적으로 유도하고 흡수와 방출 스펙트럼을 설명하지만, 거의 모든 면에서 일치하지 않는 한계점이 존재한다. 이때 전자는 제한된 각운동량인

 

$$ L=n\bar{h} $$

 

를 갖는다. 이때 슈뢰딩거 방정식을 적용하면

$$ E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2}=-\frac{13.60 eV}{n^2} $$

 

이라는 양자화된 에너지를 구할 수 있게 되어진다. 

 

원자는 이 허용된 에너지 상태를 이동하면서 에너지를 변화시킬 수 있는데, 이 이동에 에너지가 흡수되거나 방출되면

$$ \frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n_{low}}-\frac{1}{n_{high}}) $$

 

이와 같은 공식으로 계산할 수 있다. 이때 R는 Rydberg 상수이다. 

 

$$ R=\frac{me^4}{8\epsilon^2_0 h^3c}=1.097373*10^7 m^{-1} $$

 

수소원자의 한 상태의 지름확률밀도 P(r)은 P(r)이 전자가 원자핵을 중심으로 반지름 r과 r+dr의 구 껍질 사이의 공간 어디에선가 발견될 확률로 정의된다. 주어진 임의의 반지름 r_1과 r_2 사이에서 전자를 발견할 확률은 다음과 같다.

$$ \int_{r_1}^{r_2} P(r)dr $$