2023.07.27

 

Topic: 광자와 물질파

전자기파, 빛은 양자화 되어 있고, 그 양자를 광자라고 한다. 진둥수가 f인 전자기파에 대해 에너지는

$$ E=hf $$

이며 이의 운동량은

$$ p=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda} $$

가 된다. 이때 충분히 높은 진동수의 빛을 깨끗한 금속의 표면에 쪼이면 금속 내의 전자와 광자의 상호작용으로 전자가 전리되는데, 이를 광전효과라고 한다.

$$ hf=K_{max}+\phi $$

이때 좌변은 광자의 에너지, 우변의 첫 번째 항은 전자의 최대 운도에너지, 두 번째 항은 일함수를 의미한다. 광자의 에너지가 일함수보다 작으면 광전효과는 일어나지 않는다. 이때 X선이 표적에 약하게 속박된 전자들에 의해 산란될 때를 컴프턴 산란이라고 한다. 이 산란된 엑스선은 입사된 엑스선보다 긴 파장을 갖는다. 이는

$$ \triangle \lambda=\frac{h}{mc}(1-cos\phi) $$

로 주어지고, 파이는 엑스선의 산란 각도이다. 이와 같이 빛이 물질과 상호작용할 때 에너지와 우동량이 광자에 의해 전달된다. 그러나, 이 이동하는 동안은 빛의 파동을 확률 파동으로 생각한다. 이때 단위시간 동안 광자를 발견할 시간은 전기장 진폭의 제곱에 비례한다.

이상적인 흑체에 대해 알아보자. 이때 열복사를 측정하면 스펙트럼 휘도를 주어진 파장에서 단위 파장 당 방출된 세기로 정의한다. 

 

이 플랑크 복사법칙은

$$ S(\lambda)=\frac{2\pi c^2h}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}-1}}} $$

으로 주어진다. 이에 대해 빈의 법칙을 적용할 수도 있게 되어진다.

$$ \lambda_{max} T=2898 \mu m  \cdot $$

으로 주어진다. 또 물질파에 대해 알아보자. 전자나 양성자처럼 움직이는 입자는 물질파로 기술이 된다. 이를 드브로이 파장이라고 부르며,

$$ \lambda=\frac{h}{p} $$

로 주어진다. 물질파는 파동함수로 기술된다. 파동함수는 공간병수에 의존하는 부부과 시간변수에 의존하는 부분으로 나눌 수 있다. 퍼텐셜 U에서 전체에너지E를 갖고 x방향으로 움직이는 질량이 m인 파동함수는

$$ \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{8\pi^2 m}{h^2}[E-U(x)]\psi=0 $$

으로 줄 수 있다. 빛도 물질파처럼 어떤 주어진 시간 동안 발견될 확률이 전기장의 진폭의 제곱에 비례한다는 점에서 확률 파동이라고 할 수 있는데, 이때 파동 함수의 공간변수 부분의 제곱의 절대값을 확률밀도라고 한다. x방향으로 움직이는 모든 자유입자에 대해 확률밀도는 모든 점에서 일정한 값을 가진다.

양자물리의 확률적 특성은 입자의 위치와 운동량을 측정하는데 있어 근본적인 문제가 존재한다는 것인데, 서분에 따라 불확정성 원리는 다음과 같다.

$$ \triangle x \cdot \triangle p>=\frac{h}{2\pi} $$

이어서 입자의 퍼텐셜에너지가 운동에너지를 이용하여 증가하는 영역을 정의할 수 있는데, 고전물리학에 따르면 초기 운동에너지가 퍼텐셜에너지보다 크면 그 영역에서 절대 반사하지 않는다. 그러나 양자물리학에 의하면 유한한 반사확률을 주는 반사계수가 존재하고, 1에서 반사계수를 뺀 값을 투과계수라고 한다.

고전물리학에 의하면 입자의 운동에너지보다 높은 퍼텐셜에너지 장벽에 대해 들어온 입자가 반사되는데, 양자물리학에 의하면 입자가 그러한 장벽을 뚫고 지나갈 확률이 유한하게 존재한다. 질량 m, 에너지 E, 높이 U_b, 두께 L의 장벽을 터널링하여 통과할 확률은

$$ T=e^{-2bL} $$

이고 T는 투과계수, b는 다음과 같다.

$$ b=\sqrt{\frac{8\pi^2m(U_b-E)}{h^2}} $$